E-Feld / Flussdichte < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Kugel mit Radius a = 5cm, auf deren Oberfläche homogen eine Ladung von Q1 = -10C verteilt ist. Im Mittelpunkt der Kugel befindet sich zusätzlich eine Punktladung der Größe Q2 = -Q1 = 10C. Der Raum zwischen den Kugeln ist mit Glycerin gefüllt ([mm]\varepsilon_r = 43[/mm]).
a) Berechnen sie das Elektrische Feld [mm]\overrightarrow{E} = E(r)\overrightarrow{e_r}[/mm].
b) Berechnen sie die Flussdichte [mm]\overrightarrow{D}(r)[/mm] innerhalb der Kugel. |
Hallo,
ich bin mir bei der Lösung obenstehender Aufgabe nicht absolut sicher. Für a) habe ich mir überlegt, dass das elektrische Feld innerhalb der Kugel nur das von der Punktladung Q2 verursachte Feld ist, also [mm]\overrightarrow{E} = \bruch{Q_2}{4*\pi*\varepsilon_0*\varepsilon_r*r^2}[/mm]. Außerhalb der Kugel herrscht Feldfreiheit.
Erste Frage: Ist das so korrekt? Hat die Ladung der Kugel selbst im Inneren der Kugel tatsächlich keine Auswirkung?
Bei b) wirds jetzt interessanter. Theoretisch würde ich sagen, dass [mm]\overrightarrow{D} = \varepsilon_0 * \varepsilon_r * \overrightarrow{E}[/mm] ist. Ist es wirklich so einfach? Oder muss ich mich möglicherweise irgendwie mit Flussintegralen heranarbeiten?
Danke für die Hilfe,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Fr 13.11.2009 | | Autor: | GvC |
Die Feldstärke ist bis auf den fehlenden Einheitsvektor [mm] \vec e_r [/mm] und Radius a anstatt r richtig. Demzufolge ist natürlich auch die Verschiebungsflussdichte [mm]\vec D[/mm] richtig, denn es gilt in jedem Fall [mm]\vec D=\epsilon_0*\epsilon_r*\vec E[/mm]. Wenn Du [mm]\vec E[/mm] einsetzt, kürzt sich [mm] \epsilon_0*\epsilon_r [/mm] raus. Die Frage ist nur, woher Du die Feldstärke hast. Weil sie in der Formelsammlung steht oder weil Du sie irgendwoanders her weißt? Der Ursache-/Wirkungszusammenhang ist doch folgender:
Q verursacht einen dielektrischen Fluss, der gerade gleich Q ist. Die Flussdichte ergibt sich aus dem Gaußschen Flusssatz (das folgende Integral soll Hüllintgral heißen, ich finde nur das entsprechende Zeichen nicht in TeX):
[mm]\int_A \vec D*d\vec A=Q[/mm]
Wenn Du aus Symmetriegründen als Integrationsfläche eine Kugel wählst ([mm]\vec D||d\vec A[/mm] und [mm]|\vec D|=const.[/mm]), dann ergibt sich die Flussdichte zu
[mm]\vec D=\bruch {Q}{4*\pi*r^2}*\vec e_r[/mm]
[mm]\vec D[/mm] ist im Sinne der Nahwirkungstheorie (Feldtheorie) die Ursache für [mm]\vec E[/mm] mit
[mm]\vec E=\bruch {\vec D}{\epsilon_0*\epsilon_r}[/mm]
Was das Feld im Außenraum angeht, hast Du prinzipiell recht. Ich kann mir das allerdings nicht so richtig vorstellen, sofern es sich um eine metallische Hohlkugel handelt. Normalerweise säße an der äußeren Oberfläche (bei positiver Punktladung im Inneren) eine positive Ladung. Hier ist aber eine negative "Oberflächen"ladung angegeben. Das hieße, es gibt in der metallischen Hülle eine negative Überschussladung. Die sitzt dann aber nicht an der äußeren Oberfläche, sondern eher an der inneren Kugeloberfläche (angezogen von der positiven Ladung in der Mitte). Hier ist also die Formulierung der Aufgabe zumindest fragwürdig. Handelt es sich dagegen um eine Kugel aus nichtleitendem Material, ist die Sache klar. Allerdings wäre dann die Frage zu stellen, wie man auf einem nichtleitenden Material eine gleichmäßige Oberflächenladung hinbekommt.
Auf jeden Fall wäre es eine Frage an den Prof. wert.
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