Dynkin-System < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 16.10.2008 | | Autor: | vivo |
| Aufgabe | Es seien [mm] \Omega \not= \emptyset, \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] von Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] und P:A->[0,1] mit
[mm] P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1 [/mm] und [mm] P(\bigcup E_n) [/mm] = [mm] \sum P(A_n) [/mm] für jede diskunkte Familie von abzählbar vielen Mengen [mm] A_n \in \mathcal{A}
[/mm]
Zeige, dass für jedes A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] die Menge
[mm] M_A [/mm] := [mm] \{B \in \mathcal{A}: P(A\cap B)=P(A)P(B)\} [/mm] der von A unabhängigen Ereignisse ein Dynkin-System, aber im allgemeinen keine Algebra ist. |
Hallo,
im Folgenden meine Lösung, wäre super wenn mir jemand sagen könnte ob dass so passt, oder wo Fehler sind. Vielen Dank
Aufgabe [mm] 3\\\\
[/mm]
Es ist zu [mm] zeigen:\\\\
[/mm]
(i) [mm] $\Omega \in \mathcal{D}$\\\\
[/mm]
[mm] (ii)$D_1,D_2 \in \mathcal{D},D_1\subseteq D_2 \Rightarrow D_2$/$D_1 \in \mathcal{D}$\\\\
[/mm]
(iii) [mm] $D_n \in \mathcal{D}, \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] paarweise Disjunkt [mm] $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}D_n \in \mathcal{D}$\\\\
[/mm]
wenn [mm] $\Omega \in \mathcal{M}_A$ [/mm] dann muss aufgrund von (ii) auch die leere Menge in [mm] $\mathcal{M}_A$ [/mm] entahlten [mm] sein.\\\\
[/mm]
[mm] $P(A\cap \Omega)=P(A)=P(A)P(\Omega)=1P(A)$ $\Rightarrow$ $\Omega \in \mathcal{M}_A$\\\\
[/mm]
[mm] $P(A\cap \emptyset)=P(\emptyset)=0=0P(A)$ $\Rightarrow$ $\emptyset \in \mathcal{M}_A$\\\\
[/mm]
da [mm] $\Omega \in \mathcal{M}_A$ [/mm] muss aufgrund von (ii) dass Komplement von jedem $B [mm] \in \mathcal{M}_A$ [/mm] auch in [mm] $\in \mathcal{M}_A$ [/mm] enthalten sein, denn: [mm] $B^C=\Omega \setminus B$\\\\
[/mm]
[mm] $P(A\cap B^C)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B^C)$ $\Rightarrow$ $B^C \in \mathcal{M}_A$\\\\
[/mm]
Damit sind Eigenschaft (i) und die aus (i) in Verbindung mit (ii) resultierenden Folgen gezeigt. Nun zu Eigenschaft (ii) an [mm] sich:\\\\
[/mm]
[mm] $P(A\cap (B_2\setminus B_1))=P(A\cap B_2)-P(A\cap B_1)=P(A)P(B_2)-P(A)P(B_1)=P(A)(P(B_2)-P(B_1))=P(A)P(B_2\setminus B_1)$ $\Rightarrow$ $B_2\setminus B_1 \in \mathcal{M}_A$\\\\
[/mm]
Eigenschaft [mm] (iii):\\\\
[/mm]
[mm] $P(A\cap (\bigcup B_i))=P(\bigcup (A\cap B_i))= \sum P(A\cap B_i)= \sum P(A)P(B_i)=P(A)(\sum P(B_i))=P(A)P(\bigcup B_i)$ $\Rightarrow$ $\bigcup B_i \in \mathcal{M}_A$\\\\
[/mm]
Alle drei Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind gezeigt. Waere [mm] $\mathcal{M}_A$ [/mm] eine Algebra so wuerde aus [mm] $B_1,B_2 \in \mathcal{M}_A$ [/mm] folgen dass auch [mm] $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{M}_A$ [/mm] ist. Dass dies im Allgemeinen nicht so ist, zeigt folgendes [mm] Beispiel:\\\\
[/mm]
Betrachte zweifachen Muenzwurf und die Ereignisse $A:=$1. Wurf Kopf, [mm] $B_1:=$2. [/mm] Wurf Kopf , [mm] $B_2:=$1. [/mm] und 2.Wurf gleich dann sind [mm] $A,B_1,B_2$ [/mm] paarweise unabhaengig denn [mm] $P(A)=P(B_1)=P(B_2)=\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $P(A\cap B_1)=P(A\cap B_2)=P(B_2\cap B_1)=\frac{1}{4}$ [/mm] aber [mm] $P(A\cap B_1 \cap B_2) \neq \frac{1}{8}=P(A)P(B_1)P(B_2)$\\\\
[/mm]
Also waere fuer dieses Beispiel [mm] $B_1\cap B_2$ [/mm] nicht in [mm] $\mathcal{M}_A$ [/mm] enthalten, somit kann [mm] $\mathcal{M}_A$ [/mm] im allgemeinen keine Algebra sein.
|
|
| |
|
Hallo vivo,
> wenn [mm]\Omega \in \mathcal{M}_A[/mm] dann muss aufgrund von (ii)
> auch die leere Menge in [mm]\mathcal{M}_A[/mm] entahlten [mm]sein.\\\\[/mm]
>
> [mm]P(A\cap \Omega)=P(A)=P(A)P(\Omega)=1P(A)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\Omega \in \mathcal{M}_A[/mm][mm] \\\\[/mm]
>
> [mm]P(A\cap \emptyset)=P(\emptyset)=0=0P(A)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\emptyset \in \mathcal{M}_A[/mm][mm] \\\\[/mm]
>
> da [mm]\Omega \in \mathcal{M}_A[/mm] muss aufgrund von (ii) dass
> Komplement von jedem [mm]B \in \mathcal{M}_A[/mm] auch in [mm]\in \mathcal{M}_A[/mm]
> enthalten sein, denn: [mm]B^C=\Omega \setminus B[/mm][mm] \\\\[/mm]
> [mm]P(A\cap B^C)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B^C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]B^C \in \mathcal{M}_A[/mm][mm] \\\\[/mm]
>
> Damit sind Eigenschaft (i) und die aus (i) in Verbindung
> mit (ii) resultierenden Folgen gezeigt.
Um zu zeigen, dass [mm] \Omega [/mm] und [mm] \emptyset [/mm] in [mm] \mathcal{M}_A [/mm] sind, brauchst du Eigenschaft (ii) nicht bemühen. Hier reicht es zu sagen, dass beide in [mm] \mathcal{A} [/mm] (da das eine sigma-Algebra ist, muss [mm] \Omega [/mm] und [mm] \emptyset [/mm] in [mm] \mathcal{A} [/mm] sein) und dann überprüfst du, ob die Eigenschaft erfüllt ist (wie du es gemacht hast).
> Nun zu Eigenschaft (ii) an [mm]sich:\\\\[/mm]
> [mm]P(A\cap (B_2\setminus B_1))=P(A\cap B_2)-P(A\cap B_1)=P(A)P(B_2)-P(A)P(B_1)=P(A)(P(B_2)-P(B_1))=P(A)P(B_2\setminus B_1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]B_2\setminus B_1 \in \mathcal{M}_A[/mm][mm] \\\\[/mm]
>
> Eigenschaft [mm](iii):\\\\[/mm]
> [mm]P(A\cap (\bigcup B_i))=P(\bigcup (A\cap B_i))= \sum P(A\cap B_i)= \sum P(A)P(B_i)=P(A)(\sum P(B_i))=P(A)P(\bigcup B_i)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\bigcup B_i \in \mathcal{M}_A[/mm][mm] \\\\[/mm]
>
> Alle drei Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind gezeigt.
Alles korrekt!
> Waere [mm]\mathcal{M}_A[/mm] eine Algebra so wuerde aus [mm]B_1,B_2 \in \mathcal{M}_A[/mm]
du meinst hier eine sigma-Algebra und nicht eine Algebra. Da ein durchschnittsstabiles Dynkin-System immer eine sigma-Algebra ist, ist deine Idee richtig.
Grüße, Steffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Fr 17.10.2008 | | Autor: | vivo |
danke!
gruß
|
|
|
|
