Durchschnitt von Sylowgruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 26.02.2005 | | Autor: | Marc5777 |
Hallo
1.) Bestimme alle Sylowgruppen und den Durchschnitt je zweier Sylowgruppen für G=A4
Mein Ansatz hierzu: A4 besitzt eine 2-Sylowuntergruppen mit 8 Elementen und drei 2-Sylowuntergruppen mit 8 Elementen; dann eine 3-Sylowuntergruppe mit 3 Elementen und vier 3-Sylowuntergruppen mit 3 Elementen.
-Den Durchschnitt je zweier Sylowgruppen kann ich nicht bestimmen.
2.) Berechne das Zentrum von GL(n,k)
Besten Dank für Lösungshinweise!
Marc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Sa 26.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Marc
Ist A4 nicht die alternative Gruppe, also die Gruppe aller geraden Permutationen von 4 Elementen?
Diese Gruppe besitzt nur 12 Elemente. Also müsste es eine 2-Sylowgruppe der Ordnung 4 und eine 3-Sylowgruppe der Ordnung 3 geben.
Die 3-Sylowuntergruppen werden durch die 3-Zyklen (z.B (1,2,3)) erzeugt, es gibt 4 3-Sylowuntergruppen.
Da die 4-Zykeln (z.B. (1,2,3,4) ) nicht in A4 liegen, müssten die 2 Sylowuntergruppen isomorph zur kleinschen Vierergruppe sein.
Viele Möglichkeiten gibt es ja nicht mehr. Die 2-Sylowuntergruppe ist ein Normalteiler sie lautet:
[mm] $\{(1),\ (1,2)(3,4),\ (1,3)(2,4),\ (1,4)(2,3)\}$
[/mm]
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo moudi!
> Diese Gruppe besitzt nur 12 Elemente. Also müsste es eine
> 2-Sylowgruppe der Ordnung 4 und eine 3-Sylowgruppe der
> Ordnung 3 geben.
Du meinst das hier zunächst mal im Sinne von "mindestens eine...", oder wie ist das zu verstehen?
> Viele Möglichkeiten gibt es ja nicht mehr. Die
> 2-Sylowuntergruppe ist ein Normalteiler sie lautet:
> [mm]\{(1),\ (1,2)(3,4),\ (1,3)(2,4),\ (1,4)(2,3)\}[/mm]
Klar, alle anderen Elemente in [mm] $S_4$ [/mm] der Ordnung $2$ liegen ja auch gar nicht in [mm] $A_4$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 28.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Stefan
Ja klar, ich meinte es gibt (nichttriviale Sylowgruppe) zu den Primfaktoren p=2 und p=3. Ausserdem sind ja alle Sylowuntergruppen zu einer festen Primzahl isomorph. Darum den Unterschied in der Wortwahl.
Sylowgruppe für den "Isomorphietyp". Sylowuntergruppe für die "realen Untergruppen".
mfG Moudi
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Hi, zu Frage 2 schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=22195&v=t
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