Durchschnitt und Summe von UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 25.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | sei K Körper, V K-VR, S [mm] \subseteq [/mm] V.
1. <s> := [mm] \bigcap_{S\subseteq W \le V } [/mm] W
heißt das Erzeugnis von S.
2.Falls <s> = V, so heißt S ein Erzeugendensystem von V.
3.Falls V ein endliches Erzeugendensystem besitzt, so heißt V endlich erzeugt.
4. Eine Linearkombination von Elementen aus S ist ein Element v [mm] \in [/mm] V der Form: [mm] v=\summe_{i=1}^{n} a_{i} s_{i} [/mm] für geeignetes n [mm] \in \IN, a_{i} \in [/mm] K, [mm] s_{i} \in [/mm] S.
5. Seinen [mm] W_{i} \le [/mm] V Untervektorräume für i [mm] \in [/mm] I Indexmenge, dann heißt für [mm] s=\bigcup_{} W_{i} [/mm] das Erzeugnis <s> die Summe der [mm] W_{i}. [/mm] Schreibweise [mm] \summe_{i \in I} W_{i}. [/mm] |
Nach der Definition Vektorräume und Definition UVR ist dies hier nun die 3. Definition und schon hört mein Verständnis auf :(
1. OK! (glaube ich)
2. wenn <s> doch in 1. als Schnitt der UVRen(die S enthalten) definiert ist und nun gesagt wird, dass <s>=V, dann muss doch jeder UVR = V sein, oder nicht? Was macht das dann für einen Sinn?
Sorry, ich versteh es nicht. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sei K Körper, V K-VR, S [mm]\subseteq[/mm] V.
>
> 1. <s>:= [mm]\bigcap_{S\subseteq W \le V }[/mm] W
> heißt das Erzeugnis von S.
>
> 2.Falls <s>= V, so heißt S ein Erzeugendensystem von V.
>
> 3.Falls V ein endliches Erzeugendensystem besitzt, so
> heißt V endlich erzeugt.
>
> 4. Eine Linearkombination von Elementen aus S ist ein
> Element v [mm]\in[/mm] V der Form: [mm]v=\summe_{i=1}^{n} a_{i} s_{i}[/mm]
> für geeignetes n [mm]\in \IN, a_{i} \in[/mm] K, [mm]s_{i} \in[/mm] S.
>
> 5. Seinen [mm]W_{i} \le[/mm] V Untervektorräume für i [mm]\in[/mm] I
> Indexmenge, dann heißt für [mm]s=\bigcup_{} W_{i}[/mm] das
> Erzeugnis <s>die Summe der [mm]W_{i}.[/mm] Schreibweise [mm]\summe_{i \in I} W_{i}.[/mm]
>
> Nach der Definition Vektorräume und Definition UVR ist
> dies hier nun die 3. Definition und schon hört mein
> Verständnis auf :(
>
> 1. OK! (glaube ich)
wichtig wäre es, hier dazuzusagen, dass der Schnitt über (beliebig viele)
Unterräume von [mm] $V\,$ [/mm] auch wieder ein Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm] ist. Falls das nicht
bekannt ist, so solltest Du das beweisen!
> 2. wenn <s>doch in 1. als Schnitt der UVRen(die S enthalten)
> definiert ist und nun gesagt wird, dass <s>=V, dann muss doch
> jeder UVR = V sein, oder nicht? Was macht das dann für
> einen Sinn?
Lies' die Definition genau. Ich schreibe sie mal anders auf:
[mm] $\,$ [/mm] ist der Durchschnitt über alle Unterräume $W [mm] \subseteq [/mm] V$ mit $S [mm] \subseteq W\,.$ [/mm]
Man sagt auch: [mm] $\,$ [/mm] ist (bzgl. Mengeninklusion) "der kleinste Unterraum
von [mm] $V\,,$ [/mm] der [mm] $S\,$ [/mm] enthält". Grund: Ist $P [mm] \le [/mm] V$ ein weiterer Unterraum mit
$S [mm] \subseteq P\,,$ [/mm] so muss schon $<S> [mm] \subseteq [/mm] P$ folgen. Warum?
(Ihr schreibt garantiert $W [mm] \red{\;\le\;} V\,,$ [/mm] wenn $W [mm] \subseteq [/mm] V$ ein Unterraum von
[mm] $V\,$ [/mm] ist - richtig?)
Beispielsweise: Was ist [mm] $\,$ [/mm] für [mm] $S:=\{(1,0)\}\,,$ [/mm] wenn der "gewöhnliche
[mm] $\IR$-Vektorraum $\blue{V=\IR^2}$" [/mm] zugrundeliegt? (Wenn Dir nicht klar ist,
was ich hier mit 'gewöhnlich' meine, frage das bitte nach!)
Siehst Du den (offensichtlichen) Unterschied zwischen [mm] $S\,$ [/mm] und [mm] $\,$?
[/mm]
Und warum gilt auch für [mm] $=<\{(1,0)\}>$ [/mm] "offenbar" [mm] $=<\{(1,0),\;(105,0),\;(\pi^2,0),\;(\sqrt{2},0)\}>$?
[/mm]
> Sorry, ich versteh es nicht. Kann mir jemand helfen?
Wozu Entschuldigung? Eben dafür kann und sollte man nachfragen, wenn
man Verständnisschwierigkeiten hat oder etwas nicht versteht!! Und wenn
mal jemand etwas "dummes" dazu sagt, dann denke einfach: "Ich habe
wenigstens den Mut nachzufragen, so dass man meine Probleme lösen
kann." Und lass' es niemals zu, zu denken, dass Du Dich dafür schämen
musst. Vor allem: Wenn jemand ewig an Verständnisschwierigkeiten
grübelt, kann es sein, dass er/sie selbst auch irgendwann beseitigt. Aber
ob das der effektivste Weg war, sei mal dahingestellt. Vielleicht hast Du
mit Nachfrage in 10 Minuten Dein Problem geklärt, andere haben das
selbst hinbekommen, aber dafür 2 Wochen gebraucht. Ich grüble auch
lieber gerne erst mal, wenn ich etwas nicht verstehe, etwas drüber
nachdenken sollte man schon. Aber wenn man "immer wieder hängt",
dann ist's doch besser, jemanden zu fragen, der sich auskennt. 
Zurück zu Deinen Fragen:
Ist 3. klar? [mm] $V\,$ [/mm] heißt endlich erzeugt, falls es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $v_1,...,v_n \in [/mm] V$ so gibt,
dass [mm] $V=<\{v_1,...,v_n\}>$ [/mm] gilt. Hierbei ist es vorteilhaft, aber nicht notwendig,
dass die Menge [mm] $\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] linear unabhängig ist. (Warum das vorteilhaft
ist, erkennt man, wenn man mit dem Begriff "Basis" konfrontiert wird!)
Beispielsweise wird (der oben erwähnte [mm] $\IR$-) [/mm] Vektorraum [mm] $\IR^2$ [/mm] erzeugt
von
[mm] $$\{(1,0),\;(0,1)\}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\{(1,0),\;(1,1)\}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\{(0,0),\;(1,2),\;(2,3),\;(4,7)\}\,.$$
[/mm]
Sicherlich gibt es damit ein endliches EZS (wir haben ja sogar mehrere
genannt - auch, wenn wenigstens zu beweisen wäre, dass eines davon
auch wirklich den [mm] $\IR^2$ [/mm] erzeugt. Bei einer der genannten Mengen ist
das aber "offensichtlich" (bei einer zweiten so gut wie offensichtlich)!).
Falsch' wäre es natürlich, zu sagen:
[mm] $$\{(1,0)\}$$
[/mm]
ist kein EZS des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] also kann der nicht endlich erzeugt sein. Warum ist
eine solche Aussage Humbug?
Und auch ergänzend:
Ein Beispiel für einen Vektorraum, der nicht endlich erzeugt werden kann,
ist etwa [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum.
[/mm]
Dazu habe ich erst vor kurzem etwas geschrieben: siehe hier (klick!)
Beachte: Dort steht [mm] $\text{linspan}(S)\,$ [/mm] anstatt das von Euch genutzte [mm] $\,.$
[/mm]
Es ist nur eine andere, übliche Notation!
Du kannst Dir auch merken: [mm] $\text{linspan}(S)$ [/mm] bzw. [mm] $\,$ [/mm] ist "die Menge aller
(endlichen) Linearkombinationen von Elementen aus [mm] $S\,.$"
[/mm]
Die "Endlichkeit" ist vor allem zu beachten, wenn [mm] $S\,$ [/mm] unendlich viele
linear unabhängige Elemente hat. Aber auch das brauchst Du sicher erst
später.
Ein gutes Buch (was allerdings sehr formal ist, nichtsdestotrotz auch hin
und wieder wenigstens manche Sachen geometrisch kurz motiviert):
Bosch, Lineare Algebra
Einfach mal ausleihen und in das entsprechende Kapitel (ab 1.4 etwa) reingucken.
Dort wird zwar manches anders wie bei Euch definiert - aber solange die
Definitionen äquivalent sind, ist das egal!
P.S. Ich sehe gerade, dass Du den Teil mit [mm] $\,$ [/mm] eigentlich richtig verstanden
hattest. Vielleicht hilft Dir meine Umformulierung von 3. aber, die Aussage
dort zu verstehen. Ich hatte da vorhin bei Dir etwas "falsch gelesen"!
Aber lieber zuviel und etwas Unnötiges geschrieben, als zu wenig.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 25.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> wichtig wäre es, hier dazuzusagen, dass der Schnitt über
> (beliebig viele)
> Unterräume von [mm]V\,[/mm] auch wieder ein Unterraum von [mm]V\,[/mm] ist.
> Falls das nicht
> bekannt ist, so solltest Du das beweisen!
Ja, das haben wir bewiesen!
>
> > 2. wenn <s>doch in 1. als Schnitt der UVRen(die S enthalten)
> > definiert ist und nun gesagt wird, dass <s>=V, dann muss doch
> > jeder UVR = V sein, oder nicht? Was macht das dann für
> > einen Sinn?
>
> Lies' die Definition genau. Ich schreibe sie mal anders
> auf:
>
> [mm]\,[/mm] ist der Durchschnitt über alle Unterräume [mm]W \subseteq V[/mm]
> mit [mm]S \subseteq W\,.[/mm]
>
> Man sagt auch: [mm]\,[/mm] ist (bzgl. Mengeninklusion) "der
> kleinste Unterraum
> von [mm]V\,,[/mm] der [mm]S\,[/mm] enthält". Grund: Ist [mm]P \le V[/mm] ein
> weiterer Unterraum mit
> [mm]S \subseteq P\,,[/mm] so muss schon [mm] \subseteq P[/mm] folgen.
> Warum?
Dazu hab ich mir folgendes Beispiel überlegt:
Wenn V der [mm] \IR^3 [/mm] ist, dann ist ein UVR W ja zB der [mm] \IR^2. [/mm] Wenn ich nun die Menge S nehme, bestehend aus den Werten 2,3,4 der X-Achse, dann wäre <S> ein Vektor von 2 bis 4 auf der X-Achse. Dieses <s> könnte ja dann auch die Werte x=1,75 oder x=2,123 .. etc. enthalten.
Wenn es nun ein weiterer UVR P mit S [mm] \subset [/mm] P gibt, könnte der ja zB der Vektor von 1 bis 7 auf der x-Achse sein.
Also ist <s> ein UVR von P.
Stimmt das?
>
> (Ihr schreibt garantiert [mm]W \red{\;\le\;} V\,,[/mm] wenn [mm]W \subseteq V[/mm]
> ein Unterraum von
> [mm]V\,[/mm] ist - richtig?)
Ja, richtig, das schreiben wir!
>
> Beispielsweise: Was ist [mm]\,[/mm] für [mm]S:=\{(1,0)\}\,,[/mm] wenn der
> "gewöhnliche
> [mm]\IR[/mm]-Vektorraum [mm]\blue{V=\IR^2}[/mm]" zugrundeliegt? (Wenn Dir
> nicht klar ist,
> was ich hier mit 'gewöhnlich' meine, frage das bitte
> nach!)
Gewöhnlich, weil [mm] \IR^2 [/mm] "unser" kartesisches Koordinatensystem ist?
mit (1,0) gibst du einen Punkt auf der x-Aachse an, damit erzeugst du als UVR von [mm] \IR^2 [/mm] die X-Achse. (Denn jeder UVR muss die Null beinhalten, und mit den Punkten (0,0) und (1,0) wird ein Vektor als gerade beschrieben)) Dann muss ich mein Beispiel von oben widerrufen, denn dieser Vektor ist nicht begrenzt, sondern stellt die gesamte X-Achse dar, stimmts?
> Siehst Du den (offensichtlichen) Unterschied zwischen [mm]S\,[/mm]
> und [mm]\,[/mm]?
>
> Und warum gilt auch für [mm]=<\{(1,0)\}>[/mm] "offenbar"
> [mm]=<\{(1,0),\;(105,0),\;(\pi^2,0),\;(\sqrt{2},0)\}>[/mm]?
weil alle von dir angegebenen Paare y=0 haben und beide Erzeugnisse den gleichen Vektorraum erzeugen.
...uii, das ist alles sehr ausführlich, aber wenn ich es richtig verstanden habe, dann tausend Dank!!
und ich les jetzt mal den Rest den du geschrieben hast...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > wichtig wäre es, hier dazuzusagen, dass der Schnitt über
> > (beliebig viele)
> > Unterräume von [mm]V\,[/mm] auch wieder ein Unterraum von [mm]V\,[/mm]
> ist.
> > Falls das nicht
> > bekannt ist, so solltest Du das beweisen!
>
> Ja, das haben wir bewiesen!
> >
> > > 2. wenn <s>doch in 1. als Schnitt der UVRen(die S enthalten)
> > > definiert ist und nun gesagt wird, dass <s>=V, dann muss doch
> > > jeder UVR = V sein, oder nicht? Was macht das dann für
> > > einen Sinn?
> >
> > Lies' die Definition genau. Ich schreibe sie mal anders
> > auf:
> >
> > [mm]\,[/mm] ist der Durchschnitt über alle Unterräume [mm]W \subseteq V[/mm]
> > mit [mm]S \subseteq W\,.[/mm]
> >
> > Man sagt auch: [mm]\,[/mm] ist (bzgl. Mengeninklusion) "der
> > kleinste Unterraum
> > von [mm]V\,,[/mm] der [mm]S\,[/mm] enthält". Grund: Ist [mm]P \le V[/mm] ein
> > weiterer Unterraum mit
> > [mm]S \subseteq P\,,[/mm] so muss schon [mm] \subseteq P[/mm] folgen.
> > Warum?
> Dazu hab ich mir folgendes Beispiel überlegt:
> Wenn V der [mm]\IR^3[/mm] ist, dann ist ein UVR W ja zB der [mm]\IR^2.[/mm]
nein, das kann schon wegen [mm] $\IR^2 \not\subseteq \IR^3$ [/mm] nicht sein!
> Wenn ich nun die Menge S nehme, bestehend aus den Werten
> 2,3,4 der X-Achse, dann wäre <S> ein Vektor von 2 bis 4
> auf der X-Achse.
Was meinst Du mit [mm] "$S\,$ [/mm] besteht aus den Werten 2,3,4 der X-Achse?" Und
[mm] $\,$ [/mm] ist sicher kein Vektor, sondern, wenn $S [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] ist, dann ist
$<S> [mm] \le \IR^3$ [/mm] (insbesondere $<S> [mm] \subseteq \IR^3$). [/mm]
> Dieses <s>könnte ja dann auch die Werte
> x=1,75 oder x=2,123 .. etc. enthalten.
Hier verstehe ich gar nicht, was Du meinst. Meinst Du
[mm] $$S=\{(x,0,0):\;\;x \in \{2,3,4\}\}=\{(2,0,0),\;(3,0,0),\;(4,0,0)\} \text{ ?}$$
[/mm]
> Wenn es nun ein weiterer UVR P mit S [mm]\subset[/mm] P gibt,
> könnte der ja zB der Vektor von 1 bis 7 auf der x-Achse
> sein.
Das kapiere ich gar nicht! Schon alleine deswegen nicht, weil ich nicht
verstehe, wieso Du sagst, dass ein Untervektorraum, welches ja eine
Teilmenge von [mm] $V\,$ [/mm] ist, ein Vektor sein soll, welcher ja Element von [mm] $V\,$
[/mm]
ist!
> Also ist <s>ein UVR von P.
> Stimmt das?
Also ich verstehe nicht, was Du da machst und was Du machen willst. Das
ist jetzt vielleicht auch einfach ein Problem der "Technik", über die wir
kommunizieren.
Was doch die eigentliche Frage war: Wieso ist [mm] $\,$ [/mm] "der kleinste Unteraum,
von [mm] $V\,,$ [/mm] der [mm] $S\,$ [/mm] enthält".
Dir ist doch sicher bewußt: [mm] $\bigcap_{j \in I}A_j \subseteq A_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in I\,.$ [/mm]
Wenn nun $P [mm] \le [/mm] V$ ein Unterraum mit $S [mm] \subseteq [/mm] P$ ist, dann kommt im
Schnitt
[mm] $$\bigcap_{S \subseteq W \le V}W$$
[/mm]
auch [mm] $P\,$ [/mm] vor: $P [mm] \in \{W:\;\;S \subseteq W \le V\}\,.$ [/mm] Daraus folgt dann diese
Behauptung!
> >
> > (Ihr schreibt garantiert [mm]W \red{\;\le\;} V\,,[/mm] wenn [mm]W \subseteq V[/mm]
> > ein Unterraum von
> > [mm]V\,[/mm] ist - richtig?)
>
> Ja, richtig, das schreiben wir!
> >
> > Beispielsweise: Was ist [mm]\,[/mm] für [mm]S:=\{(1,0)\}\,,[/mm] wenn der
> > "gewöhnliche
> > [mm]\IR[/mm]-Vektorraum [mm]\blue{V=\IR^2}[/mm]" zugrundeliegt? (Wenn Dir
> > nicht klar ist,
> > was ich hier mit 'gewöhnlich' meine, frage das bitte
> > nach!)
>
> Gewöhnlich, weil [mm]\IR^2[/mm] "unser" kartesisches
> Koordinatensystem ist?
Jein - es bedeutet vor allem, dass der [mm] $\IR^2$ [/mm] mit "üblicher komponentenweiser
Addition und skalarer Multiplikation" versehen wird:
[mm] $$(a,b)\oplus(c,d):=(a+c,b+d)$$
[/mm]
und
$$r [mm] \odot (a,b):=(r*a,r*b)\,,$$
[/mm]
für alle [mm] $(a,b),\,(c,d) \in \IR^2$ [/mm] und $r [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dabei ist [mm] $\oplus \colon \IR^2 \times \IR^2 \to \IR^2$
[/mm]
und [mm] $\odot \colon \IR \times \IR^2 \to \IR^2\,,$ [/mm] und [mm] $+\,$ [/mm] ist die übliche Addition
in [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $*\,$ [/mm] die übliche Multiplikation in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Meistens schreibt man auch
einfach [mm] $+\,$ [/mm] anstatt [mm] $\oplus$ [/mm] und analog [mm] $\cdot$ [/mm] für [mm] $\odot\,,$ [/mm] aber man muss
sich schon klar machen, dass dann die [mm] $+\,$'s [/mm] und [mm] $\cdot$'s [/mm] nach Zusammenhang
richtig zu interpretieren sind.
> mit (1,0) gibst du einen Punkt auf der x-Aachse an, damit
> erzeugst du als UVR von [mm]\IR^2[/mm] die X-Achse. (Denn jeder UVR
> muss die Null beinhalten, und mit den Punkten (0,0) und
> (1,0) wird ein Vektor als gerade beschrieben)) Dann muss
> ich mein Beispiel von oben widerrufen, denn dieser Vektor
> ist nicht begrenzt, sondern stellt die gesamte X-Achse dar,
> stimmts?
>
> > Siehst Du den (offensichtlichen) Unterschied zwischen [mm]S\,[/mm]
> > und [mm]\,[/mm]?
> >
> > Und warum gilt auch für [mm]=<\{(1,0)\}>[/mm] "offenbar"
> > [mm]=<\{(1,0),\;(105,0),\;(\pi^2,0),\;(\sqrt{2},0)\}>[/mm]?
>
> weil alle von dir angegebenen Paare y=0 haben und beide
> Erzeugnisse den gleichen Vektorraum erzeugen.
>
> ...uii, das ist alles sehr ausführlich, aber wenn ich es
> richtig verstanden habe, dann tausend Dank!!
Vielleicht klären wir zunächst mal, was die Unterräume des [mm] $\IR^3$ [/mm] sind.
Das sind keine "einzelnen Vektoren" (es sind Mengen, die aus
(mindestens einem, meistens aber mehreren) Vektoren bestehen).
Zunächst ist [mm] $\{(0,0,0)\}$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Beschreibe mal alle
anderen Unterräume des [mm] $\IR^3$ [/mm] (aufgefasst als [mm] $\IR$-Vektorraum, [/mm] wie "gewöhnlich")
rein mithilfe geometrischer Begriffe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Do 25.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
...
> nein, das kann schon wegen [mm]\IR^2 \not\subseteq \IR^3[/mm] nicht
> sein!
Mann, mann, mann. Kommilitonen haben felsenfest behauptet dass der [mm] \IR^2 [/mm] UVR von [mm] \IR^3 [/mm] ist, aber wir sind ja alle am Anfang, und da versteht jeder wohl was anderes...
warum ist das nicht so?
> > Wenn ich nun die Menge S nehme, bestehend aus den Werten
> > 2,3,4 der X-Achse, dann wäre <S> ein Vektor von 2 bis 4
> > auf der X-Achse.
>
> Was meinst Du mit "[mm]S\,[/mm] besteht aus den Werten 2,3,4 der
> X-Achse?" Und
> [mm]\,[/mm] ist sicher kein Vektor, sondern, wenn [mm]S \subseteq \IR^3[/mm]
> ist, dann ist
> [mm] \le \IR^3[/mm] (insbesondere [mm] \subseteq \IR^3[/mm]).
>
> > Dieses <s>könnte ja dann auch die Werte
> > x=1,75 oder x=2,123 .. etc. enthalten.
>
> Hier verstehe ich gar nicht, was Du meinst. Meinst Du
> [mm]S=\{(x,0,0):\;\;x \in \{2,3,4\}\}=\{(2,0,0),\;(3,0,0),\;(4,0,0)\} \text{ ?}[/mm]
Ja, das meinte ich, hab nur die richtige Schreibweise nicht parat gehabt, aber ich lerne...
.. alles in allem denk ich nochmal über ALLES nach und hab morgen dann hoffentlich klarere Fragen...
dankeschön und gute Nacht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ...
> > nein, das kann schon wegen [mm]\IR^2 \not\subseteq \IR^3[/mm]
> nicht
> > sein!
>
> Mann, mann, mann. Kommilitonen haben felsenfest behauptet
> dass der [mm]\IR^2[/mm] UVR von [mm]\IR^3[/mm] ist, aber wir sind ja alle am
> Anfang, und da versteht jeder wohl was anderes...
>
> warum ist das nicht so?
wäre [mm] $\IR^2$ [/mm] Unterraum des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] so wäre insbesondere [mm] $\IR^2 \subseteq \IR^3\,.$ [/mm]
Aber es ist etwa $(1,0) [mm] \in \IR^2 \setminus \IR^3\,.$
[/mm]
Was anderes ist es, dass man im [mm] $\IR^3$ [/mm] den [mm] $\IR^2$ [/mm] "wiederfinden kann":
Etwa durch [mm] $\{(x,y,0):\;\;x,y \in \IR\}\,.$ [/mm] Aber das ist eine "Identifizierungssache"
(da gehört auch noch mehr dazu als nur das, was ich hier schreibe - man
muss eine (hier triviale) bijektive lineare Abbildung angeben können etc.
pp. - aber das liegt in der Zukunft bei Euch)!
> > > Wenn ich nun die Menge S nehme, bestehend aus den Werten
> > > 2,3,4 der X-Achse, dann wäre <S> ein Vektor von 2 bis 4
> > > auf der X-Achse.
> >
> > Was meinst Du mit "[mm]S\,[/mm] besteht aus den Werten 2,3,4 der
> > X-Achse?" Und
> > [mm]\,[/mm] ist sicher kein Vektor, sondern, wenn [mm]S \subseteq \IR^3[/mm]
> > ist, dann ist
> > [mm] \le \IR^3[/mm] (insbesondere [mm] \subseteq \IR^3[/mm]).
> >
> > > Dieses <s>könnte ja dann auch die Werte
> > > x=1,75 oder x=2,123 .. etc. enthalten.
> >
> > Hier verstehe ich gar nicht, was Du meinst. Meinst Du
> > [mm]S=\{(x,0,0):\;\;x \in \{2,3,4\}\}=\{(2,0,0),\;(3,0,0),\;(4,0,0)\} \text{ ?}[/mm]
>
> Ja, das meinte ich, hab nur die richtige Schreibweise nicht
> parat gehabt, aber ich lerne...
>
>
> .. alles in allem denk ich nochmal über ALLES nach und hab
> morgen dann hoffentlich klarere Fragen...
>
> dankeschön und gute Nacht!
Okay.
Ich bin jetzt erstmal weg.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> > Dazu hab ich mir folgendes Beispiel überlegt:
> > Wenn V der [mm]\IR^3[/mm] ist, dann ist ein UVR W ja zB der
> [mm]\IR^2.[/mm]
>
> nein, das kann schon wegen [mm]\IR^2 \not\subseteq \IR^3[/mm] nicht
> sein!
Also nochmal bitte: Du sagst der [mm] \IR^2 [/mm] ist kein UVR des [mm] \IR^3.
[/mm]
Aber es gibt doch 4 Typen von UVRen des [mm] \IR^3:
[/mm]
1) {0}: nur der Nullvektor
2) [mm] \IR^3: [/mm] der gesamte VR
3) Geraden durch den Ursprung
4) Ebenen durch den Ursprung.
und ist der [mm] \IR^2 [/mm] nicht eine Ebene durch den Ursprung??
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Hallo,
> Also nochmal bitte: Du sagst der [mm]\IR^2[/mm] ist kein UVR des
> [mm]\IR^3.[/mm]
So sagt er,
und ich stimme ihm uneingeschränkt zu.
> Aber es gibt doch 4 Typen von UVRen des [mm]\IR^3:[/mm]
>
> 1) {0}: nur der Nullvektor
>
> 2) [mm]\IR^3:[/mm] der gesamte VR
>
> 3) Geraden durch den Ursprung
>
> 4) Ebenen durch den Ursprung.
Paß auf:
"Unterraum" beinhaltet ja als allererstes, daß es sich um eine Teilmenge des Vektorraumes handelt.
Dein VR ist der [mm] \IR^3, [/mm] seine Elemente sind Spaltenvektoren mit drei Einträgen.
Daher kommen als Mengen, die UVRe sein könnten, grundsetzlich nur solche Mengen infrage, welche ebenfalls Spaltenvektoren mit drei Einträgen enthalten.
Es ist [mm] \{\vektor{0\\0\\0}\} [/mm] ein Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Die Menge [mm] \{\vektor{0\\0}\} [/mm] ist kein Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] denn sie ist ja gar keine Teilmenge des [mm] \IR^3.
[/mm]
Der [mm] \IR^2 [/mm] enthält Spaltenvektoren mit 2 Einträgen, kann also kein Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] sein, weil er keine Teilmenge ist.
Ursprungsebenen des [mm] \IR^3 [/mm] kannst Du Dir sicher vorstellen, und Du kennst sie auch aus der Schule.
Eine solche Ebene wäre auch die Ebene
[mm] E:=\{r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{0\\1\\0}|r,s\in \IR\}.
[/mm]
Anschaulich gesprochen ist dies die xy-Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem.
E ist ein zweidimensionaler Unterraum (einer von sehr vielen) des [mm] \IR^3.
[/mm]
Ich weiß nicht, wie weit Deine LA-Kenntnisse gediehen sind:
E ist isomorph zum [mm] \IR^2, [/mm] aber keinesfalls gleich! Isomorph zum [mm] \IR^2 [/mm] ist auch jede andere Ursprungsebene des [mm] \IR^3.
[/mm]
Überhaupt ist jeder VR der Dimension 2 isomorph zum [mm] \IR^2 [/mm] - aber eben nicht gleich.
LG Angela
> und ist der [mm]\IR^2[/mm] nicht eine Ebene durch den Ursprung??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
Ja, isomorph hatten wir erst gestern in der Vorlesung... ich hänge nur etwas hinterher :)
Danke für die Antwort!!
PS: Gestern hab ich noch mind 3 Kommilitonen darauf angesprochen: Ist der [mm] \IR^2 [/mm] UVR des [mm] \IR^3. [/mm] Alle sagten Ja
:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, isomorph hatten wir erst gestern in der Vorlesung...
> ich hänge nur etwas hinterher :)
>
> Danke für die Antwort!!
>
> PS: Gestern hab ich noch mind 3 Kommilitonen darauf
> angesprochen: Ist der [mm]\IR^2[/mm] UVR des [mm]\IR^3.[/mm] Alle sagten Ja
>
> :(
und die Erde ist eine Scheibe!
Wo ist nun Dein Problem? Wir stimmen in der Mathematik nicht über
Wahrheit ab. Gib' Deinen Kommilitonen den Thread hier zu lesen, denn
sie haben alle unrecht!
Gruß,
Marcel
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> Gib' Deinen Kommilitonen den Thread hier zu
> lesen,
Marcel, das wäre doch ganz furchtbar langweilig.
Noch öder als eine Abstimmung.
Und vielleicht lesen die auch gar nicht gern.
> denn
> sie haben alle unrecht!
Studi_AC, mach es so:
erstmal ein gaaaanz wichtiges Geschicht aufsetzen.
Du hast nämlich nochmal über die Sache nachgedacht:
im Skript steht doch, daß ein Unterraum usw. usf.
Etwas Theater macht's Leben bunt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
Marcel, ich wollte damit nicht sagen, dass ich euch nicht glaube, sondern, dass ich mir Sorgen darum mache, dass es alle falsch verstanden haben ...
..eure Antworten waren ja wirklich ausführlich und super. Ich hab was gelernt! Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Marcel, ich wollte damit nicht sagen, dass ich euch nicht
> glaube, sondern, dass ich mir Sorgen darum mache, dass es
> alle falsch verstanden haben ...
ist ein "typischer Denkfehler!"
> ..eure Antworten waren ja wirklich ausführlich und super.
> Ich hab was gelernt! Danke
Gerne. Aber dann kläre Deine Kommilitonen auch auf.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > > Dazu hab ich mir folgendes Beispiel überlegt:
> > > Wenn V der [mm]\IR^3[/mm] ist, dann ist ein UVR W ja zB der
> > [mm]\IR^2.[/mm]
> >
> > nein, das kann schon wegen [mm]\IR^2 \not\subseteq \IR^3[/mm] nicht
> > sein!
>
> Also nochmal bitte: Du sagst der [mm]\IR^2[/mm] ist kein UVR des
> [mm]\IR^3.[/mm]
> Aber es gibt doch 4 Typen von UVRen des [mm]\IR^3:[/mm]
>
> 1) {0}: nur der Nullvektor
genauer: es ist DIE MENGE, die genau den Nullvektor [mm] $\in \IR^3$ [/mm] enthält!
>
> 2) [mm]\IR^3:[/mm] der gesamte VR
>
> 3) Geraden durch den Ursprung
Wobei wir Geraden [mm] $\subseteq \IR^3$ [/mm] "durch" [mm] $(0,0,0)^T$ [/mm] meinen!
> 4) Ebenen durch den Ursprung.
Es sind Ebenen [mm] $\subseteq \IR^3$ [/mm] "durch" [mm] $(0,0,0)^T\,.$
[/mm]
> und ist der [mm]\IR^2[/mm] nicht eine Ebene durch den Ursprung??
Gilt denn [mm] $(0,0)^T=(0,0,0)^T$? [/mm] (Der 'Nullvektor' des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist ja [mm] $(0,0)^T\,,$ [/mm] der
des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist [mm] $(0,0,0)^T\,.$)
[/mm]
Ferner: Ich habe Dir gesagt, dass Du den [mm] $\IR^2$ [/mm] "im [mm] $\IR^3$ [/mm] wiederfinden
kannst" (genauer hat das Angela schon ausgedrückt). Und genau das
denkst Du und Deine Kommilitonen hier auch gerade - aber das ist nicht
das, was in dem Begriff "Unterraum" steckt. Und zudem ist diese
"Identifizierung" nicht eindeutig, ich gebe nur ein paar Beispiele an, in
Wahrheit gibt's derer 'viel' mehr:
Man kann [mm] $\IR^2$ [/mm] isomorph mit [mm] $\{(x,y,0)^T:\;\;x,y \in \IR\} \subseteq \IR^{3 \times 1}$ [/mm] identifizieren (wir
sollten uns auch mal darauf einigen, ob wir Elemente des [mm] $\IR^n$ [/mm] als Zeilenvektoren
schreiben - dann setzt man [mm] '$\IR^3=\IR^{1 \times 3}$' [/mm] oder als Spaltenvektoren
- hier setzt man [mm] '$\IR^3=\IR^{3 \times 1}$'). [/mm] Man kann aber auch [mm] $\IR^2$ [/mm] isomorph
mit [mm] $\{(x,0,z)^T:\;\;x,z\} \subseteq \IR^{3 \times 1}$ [/mm] identifizieren.
Grob: [mm] "$\IR^2$ [/mm] wird in der xy-Ebene 'wiedergefunden'", oder [mm] "$\IR^2$ [/mm] wird in
der xz-Ebene 'wiedergefunden'". Stimmt dann also die xy-Ebene mit der
xz-Ebene überein??
P.S. Das Notationsproblem "Spalten- oder Zeilenvektoren" kann man
'erstmal umgehen', wenn man [mm] $\IR^3:=\{f \colon \{1,2,3\} \to \IR:\;\; f \text{ ist eine Abbildung}\}$ [/mm] setzt!
"Etwas" allgemein: [mm] $\IR^n:=\{f \colon \{1,\ldots,n\} \to \IR:\;\;f \text{ ist eine Abbildung}\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 25.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> Beispielsweise wird (der oben erwähnte [mm]\IR[/mm]-) Vektorraum
> [mm]\IR^2[/mm] erzeugt
> von
> [mm]\{(1,0),\;(0,1)\}[/mm]
> oder
> [mm]\{(1,0),\;(1,1)\}[/mm]
> oder
> [mm]\{(0,0),\;(1,2),\;(2,3),\;(4,7)\}\,.[/mm]
> Sicherlich gibt es damit ein endliches EZS (wir haben ja
> sogar mehrere
> genannt - auch, wenn wenigstens zu beweisen wäre, dass
> eines davon
> auch wirklich den [mm]\IR^2[/mm] erzeugt. Bei einer der genannten
> Mengen ist
> das aber "offensichtlich" (bei einer zweiten so gut wie
> offensichtlich)!).
>
> Falsch' wäre es natürlich, zu sagen:
> [mm]\{(1,0)\}[/mm]
> ist kein EZS des [mm]\IR^2\,,[/mm] also kann der nicht endlich
> erzeugt sein. Warum ist
> eine solche Aussage Humbug?
weil hier ein einzelner Vektor beschrieben wird und um den [mm] \IR^2 [/mm] aufzuspannen braucht man mind. 2 Vektoren ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Beispielsweise wird (der oben erwähnte [mm]\IR[/mm]-) Vektorraum
> > [mm]\IR^2[/mm] erzeugt
> > von
> > [mm]\{(1,0),\;(0,1)\}[/mm]
> > oder
> > [mm]\{(1,0),\;(1,1)\}[/mm]
> > oder
> > [mm]\{(0,0),\;(1,2),\;(2,3),\;(4,7)\}\,.[/mm]
> > Sicherlich gibt es damit ein endliches EZS (wir haben
> ja
> > sogar mehrere
> > genannt - auch, wenn wenigstens zu beweisen wäre, dass
> > eines davon
> > auch wirklich den [mm]\IR^2[/mm] erzeugt. Bei einer der
> genannten
> > Mengen ist
> > das aber "offensichtlich" (bei einer zweiten so gut wie
> > offensichtlich)!).
> >
> > Falsch' wäre es natürlich, zu sagen:
> > [mm]\{(1,0)\}[/mm]
> > ist kein EZS des [mm]\IR^2\,,[/mm] also kann der nicht endlich
> > erzeugt sein. Warum ist
> > eine solche Aussage Humbug?
>
> weil hier ein einzelner Vektor beschrieben wird und um den
> [mm]\IR^2[/mm] aufzuspannen braucht man mind. 2 Vektoren ?
naja, dass [mm] $\{(1,0)\}$ [/mm] nicht den [mm] $\IR^2$ [/mm] aufspannen kann, ist klar, weil Du etwa
$(1,1) [mm] \in \IR^2$ [/mm] nicht in [mm] $<\{(1,0)\}>=\{(r,0):\;\;r \in \IR\}$ [/mm] findest.
Die Frage war eher: Warum darf man so noch nicht folgern, dass der [mm] $\IR^2$
[/mm]
kein endliches EZS hat? (Die Antwort auf diese Frage ist eigentlich relativ
einfach!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
wenn <s>= V, dann nennt man S Erzeugendensystem
eine andere Definition lautet: S heißt Basis, falls <s> = V und S linear unabhängig.
also kommt bei der Basis die lineare Unabhängigleit dazu, was für mich bedeutet, dass ein Erzeugendensystem linear abhängig sein kann.
Aber wie geht das denn? Wie können linear abhängige Vektoren den gesamten Vektorraum aufspannen (veranschaulicht für mich zB den [mm] \IR^3) [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wenn <s>= V, dann nennt man S Erzeugendensystem
>
> eine andere Definition lautet: S heißt Basis, falls <s>= V
> und S linear unabhängig.
>
> also kommt bei der Basis die lineare Unabhängigleit dazu,
> was für mich bedeutet, dass ein Erzeugendensystem linear
> abhängig sein kann.
>
> Aber wie geht das denn? Wie können linear abhängige
> Vektoren den gesamten Vektorraum aufspannen
> (veranschaulicht für mich zB den [mm]\IR^3)[/mm] ??
nimm' eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] und schmeiße (beliebig viele) weitere Vektoren des [mm] $\IR^3$
[/mm]
dazu und schon hast Du sowas. (Übrigens ist auch [mm] $<\IR^3>=\IR^3\,,$ [/mm] und [mm] $\IR^3$ [/mm] ist sicher eine
linear abhängige Teilmenge des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Allgemein gilt auch [mm] $=V\,.$)
[/mm]
Hier (klick!) habe ich Dir aber auch schon ein solches Beispiel für
den [mm] $\IR^2$ [/mm] genannt. Schreibe nun mal selbst ein nicht minimales
Erzeugendensystem des [mm] $\IR^3$ [/mm] hin! (Natürlich nicht den [mm] $\IR^3$ [/mm] selbst,
denn dieses habe ich schon erwähnt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
Ich verstehe die Antwort nicht.
Du sagst, nimm eine Basis...etc.
Ich erklär mein Denkproblem nochmal anders:
Weg von der Basis. Es geht nur um ein EZS.
Linear abhängige Vektoren sind doch Vektoren die sich mit einem a [mm] \in [/mm] K multiplizieren lassen, sodass sodass sie dann gleich der anderen Vektoren sind. Um im [mm] \IR^3 [/mm] zu bleiben, linear abhängige Vektoren Vektoren haben alle die selbe "Richtung" sind nur unterschiedlich "lang". (so hab ich das in der Schule verstanden) Aber um einen [mm] \IR^3 [/mm] aufzuspannen, brauch ich doch 3 verschiedene Richtungen...
ah, moment. wäre nicht [mm] <\vektor{1 \\ 1 \\ 1}> [/mm] ein EZS des [mm] \IR^3?
[/mm]
also eigentlich jeder Vektor der weder x=o noch y=o noch z=0 als Eintrag hat? Und damit sind zB die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 3\\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 8} [/mm] linear abhängig, aber erzeugen trotzdem den [mm] \IR^3 [/mm] ?
Stimmt das oder red ich malwieder quatsch ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe die Antwort nicht.
was denn nicht?
> Du sagst, nimm eine Basis...etc.
Weißt Du, was eine Basis ist? (Erstmal Definition, nicht nur ein Beispiel!)
> Ich erklär mein Denkproblem nochmal anders:
> Weg von der Basis.
Na gut! Es gibt eh nicht DIE Basis, sondern nur EINE Basis. Basen sind
NICHT eindeutig!
> Es geht nur um ein EZS.
> Linear abhängige Vektoren sind doch Vektoren die sich mit
> einem a [mm]\in[/mm] K multiplizieren lassen, sodass sodass sie dann
> gleich der anderen Vektoren sind.
?? Sowas passt vielleicht noch, wenn man eine nur zweielementige Menge
hat (dann gibt's auch nur noch einen verbleibenden Vektor, wenn man
einen rausgreift). Kennst Du die ALLGEMEINE Definition von linear
unabhängig?
(Eine Menge $S [mm] \subseteq [/mm] V$ eines [mm] $K\,$-Vektorraums $V\,$ [/mm] heißt GENAU DANN
linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von [mm] $S\,$ [/mm] linear
unabhängig ist. Dabei heißt eine [mm] $n\,$-elementige [/mm] Teilmenge [mm] $\{v_1,...,v_n\} \subseteq [/mm] V$
GENAU DANN linear unabhängig, wenn...)
> Um im [mm]\IR^3[/mm] zu bleiben,
> linear abhängige Vektoren Vektoren haben alle die selbe
> "Richtung" sind nur unterschiedlich "lang". (so hab ich das
> in der Schule verstanden)
Das ist Unsinn. Und geh' mal weg von irgendwelchen "Pfeilen" - was ist
ein Vektor des [mm] $\IR^3$? [/mm] Vektoren sind Elemente des Vektorraums, also
ist ein "Vektor" des "Vektorraum [mm] $\IR^3$" [/mm] auch einfach nur ein Element des
[mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
> Aber um einen [mm]\IR^3[/mm] aufzuspannen,
> brauch ich doch 3 verschiedene Richtungen...
Du brauchst 3 linear unabhängige Vektoren, um den [mm] $\IR^3$ [/mm] aufzuspannen.
Wenn Du unbedingt "in Pfeilen" (der Art [mm] $\overrightarrow{SE}$) [/mm] denken willst, dann
solltest Du diese hier immer "von [mm] $(0,0,0)^T$" [/mm] starten lassen! (D.h. [mm] $S=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
bei obiger "Pfeildarstellung"!) Wenn Du "so" denkst, ist das mit den
Richtungen auch gar nicht so verkehrt: "Zwei Richtungen" sollten halt
nicht zu einer gemeinsamen Geraden gehören. Die "dritte Richtung" muss
dann aus der (Ursprungs-)Ebene, die "durch die anderen beiden
Richtungen" gegeben ist, rauszeigen. Und ein jeder "Richtungsvektor" darf
nicht Länge Null haben!
Nichtsdestotrotz: Wenn Du "anschaulich" denken willst, musst Du penibelst
drauf achten, dass das dann genau zu den Begriffen passt. Eine "nicht
'durch' den Ursprung gehende Ebene" kann man z.B. zwar nicht Unterraum
des [mm] $\IR^3$ [/mm] nennen, wohl aber etwa affiner Unterraum. Wenn man dabei
aber das "affin" wegläßt, redet man Unsinn - und Du wirst sicher eh noch
nicht wissen, was ein affiner Unterraum per Definitionem ist (bei sowas
kann man eher "in Pfeilen" denken (mit Parallelverschiebung etc. pp.),
aber auch da gehört einiges an Mathematik dazu, damit man es wieder
formal auch richtig erfasst: Da gibt's dann Äquivalenzklassen etc. pp. -
oder auch so tolle Begriffe wie der eines ![[]](/images/popup.gif) Quotientenvektorraums...)
> ah, moment. wäre nicht [mm]<\vektor{1 \\ 1 \\ 1}>[/mm] ein EZS des
> [mm]\IR^3?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Für welche Zahl $\alpha \in \IR$ gilt denn etwa $\alpha*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{1\\2\\3}$?
Nebenbei: $<\vektor{1\\1\\1}>=\left\{r*\vektor{1\\1\\1}:\;\;\;\; r \in \IR\right\}\,.$ Was ist das "anschaulich" also für
eine Teilmenge des $\IR^3$ (geometrisch)? Du hast hier also einen
(echten) Unterraum des $\IR^3$ hingeschrieben!
Und nochmal nebenbei: EIGENTLICH müßtest Du $<\red{\left\{\black{\vektor{1\\1\\1}}\red{\right\}}>$ schreiben!!
> also eigentlich jeder Vektor der weder x=o noch y=o noch
> z=0 als Eintrag hat? Und damit sind zB die Vektoren
> [mm]\vektor{1 \\ 3\\ 4}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ 6 \\ 8}[/mm] linear
> abhängig,
Linear abhängig sind sie!
> aber erzeugen trotzdem den [mm]\IR^3[/mm] ?
Nein, sie erzeugen nicht den [mm] $\IR^3$ [/mm] - sie können auch nur einen
eindimensionalen Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen, und weil der [mm] $\IR^3$
[/mm]
(als [mm] $\IR$-VR) [/mm] halt 3-dimensional ist, ist sofort klar, dass diese Vektoren einen
echten Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen! (Besser würde man davon
reden, dass die Menge, die genau aus diesen beiden Vektoren besteht,
dann ... - denn ihr betrachtet doch rein per Definitionem bisher nur Mengen
und nicht etwa Familien von Vektoren als EZS!)
> Stimmt das oder red ich malwieder quatsch ??
Leider letzteres.
$S [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] heißt Erzeugendensystem von [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] wenn gilt: Für alle [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3$ [/mm]
existiert ein $n=n(x) [mm] \in \IN$ [/mm] und dann [mm] $s_1,...,s_n \in [/mm] S$ so, dass es dann auch [mm] $r_1,...,r_n \in \IR$ [/mm] gibt mit
[mm] $$x=\sum_{k=1}^n r_k s_k\,.$$ [/mm]
(In Worten: $S [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] heißt EZS von [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] wenn es für jedes Element
des [mm] $\IR^3$ [/mm] eine endliche(!) Linearkombination von Elementen aus [mm] $S\,$ [/mm]
(beachte, dass die Summe rechterhand bis $n=n(x) [mm] \in \IN$ [/mm] geht!) so gibt, dass
diese Linearkombination das Element des [mm] $\IR^3$ [/mm] darstellt!)
Wenn [mm] $S\,$ [/mm] endlich ist ($|S| < [mm] \infty$), [/mm] kann man (das gilt auch ein wenig allgemeiner,
wenn man eine endliche Teilmenge [mm] $S\,$ [/mm] eines endlichdimensionalen VRs [mm] $V\,$ [/mm]
hat - [mm] $\IR^3$ [/mm] ist [mm] $3\,$-dimensional!) [/mm] auch einfach sagen, dass genau dann
$S [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] ein Erzeugendensystem ist, wenn für alle [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3$ [/mm] dann [mm] $r_1,...,r_{|S|} \in \IR$ [/mm]
existieren, so dass
[mm] $$x=\sum_{k=1}^{|S|} r_k s_k\,.$$
[/mm]
(Beweisen wir das mal kurz: [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] ist klar. Zu [mm] "$\Longrightarrow$:"
[/mm]
Ist $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] und $n=n(x) [mm] \in \IN$ [/mm] mit geeigneten [mm] $r_1,...,r_n \in \IR$ [/mm] und [mm] $s_1,...,s_n \in [/mm] S$ so,
dass
[mm] $$x=\sum_{k=1}^n r_k s_k$$
[/mm]
gilt, so folgt sicherlich $n [mm] \le |S|\,.$ [/mm] (Warum?) Die Elemente aus $S [mm] \setminus \{s_1,...,s_n\}$
[/mm]
nummerieren wir durch mit [mm] $s_{n+1},...,s_{|S|}\,.$ [/mm] (Wenn $S [mm] \setminus \{s_1,...,s_{n}\}=\emptyset$ [/mm] wäre, so hätten
wir nichts mehr weiter zu beweisen!) Dann definieren wir [mm] $r_\ell:=0 \in \IR$ [/mm] für
[mm] $\ell \in \{n+1,...,|S|\}$ [/mm] und es folgt
[mm] $x=\sum_{k=1}^n r_k s_k +\underbrace{\sum_{k=n+1}^{|S|} \underbrace{r_\ell}_{=0}*s_\ell}_{=0 \in V=\IR^3}=\sum_{k=1}^{|S|} r_k s_k$
[/mm]
wie gewünscht!)
Das ist i.A. ein Unterschied zu der Aussage zuvor - bei der Aussage zuvor
darf $n=n(x) [mm] \in \IN$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $x\,$ [/mm] stehen, bei der letzten
Formulierung können wir ein [mm] "$n\,$ [/mm] für jedes [mm] $x\,$" [/mm] angeben.
(Das ist so wie der Unterschied zwischen [mm] "$\forall \epsilon [/mm] > [mm] 0\exists \delta=\delta(\epsilon)> [/mm] 0$" und [mm] "$\exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0$"!)
P.S. Habe ich schon "Bosch, Lineare Algebra" erwähnt? Gutes Buch, zwar
stark formal, aber eventuell kannst Du ja auch einfach mal in die Bib gehen
und nur mal einen Blick reinwerfen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 So 28.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> Weißt Du, was eine Basis ist? (Erstmal Definition, nicht
> nur ein Beispiel!)
<s> = V und S linear unabhängig.
> > Aber um einen [mm]\IR^3[/mm] aufzuspannen,
> > brauch ich doch 3 verschiedene Richtungen...
>
> Du brauchst 3 linear unabhängige Vektoren, um den [mm]\IR^3[/mm]
> aufzuspannen.
Ja, das trifft meine Frage. Ich brauche linear unabhängige Vektoren. Damit bin ich aber doch direkt bei dem Begriff Basis und nicht bei einem EZS.
Aber wir haben doch gesagt dass wenn <s> = V dann EZS. Und wenn mein V doch der [mm] \IR^3 [/mm] ist, dann brauch ich doch um diesen zu erzeugen 3 linear unabhängige Vektoren und bin schon wieder bei der Basis..
wo ist der Unterschied zwischen EZS und Basis ?
> > Stimmt das oder red ich malwieder quatsch ??
>
> Leider letzteres.
Aus Fehlern lernt man und weiß es dann besser
> P.S. Habe ich schon "Bosch, Lineare Algebra" erwähnt?
> Gutes Buch, zwar
> stark formal, aber eventuell kannst Du ja auch einfach mal
> in die Bib gehen
> und nur mal einen Blick reinwerfen!
Ja, Danke, ich habs schon ausgeliehen, werd mich wohl mal ein paar Tage drin vertiefen
PS. jede Antwort von dir wirft so viele neue Fragen auf, ich werd das erstmal alles verdauen müssen und damit hab ich bestimmt einige zeit arbeit..
danke und gute Nacht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > Weißt Du, was eine Basis ist? (Erstmal Definition, nicht
> > nur ein Beispiel!)
>
> <s>= V und S linear unabhängig.
>
>
> > > Aber um einen [mm]\IR^3[/mm] aufzuspannen,
> > > brauch ich doch 3 verschiedene Richtungen...
wenn Du "den ganzen [mm] $\IR^3$" [/mm] hast, findest Du solche. Und Du denkst
schon wieder "in Pfeilen" - dazu habe ich auch schon was gesagt ^^
> > Du brauchst 3 linear unabhängige Vektoren, um den [mm]\IR^3[/mm]
> > aufzuspannen.
>
> Ja, das trifft meine Frage. Ich brauche linear unabhängige
> Vektoren. Damit bin ich aber doch direkt bei dem Begriff
> Basis und nicht bei einem EZS.
Mit jedem EZS des [mm] $\IR^3$ [/mm] kannst Du "vermittels eines gewissen
Minimierungsvorgangs" eine Basis erhalten. Eine Basis ist ein minimales
Erzeugendensystem. Da gibt's irgendwie IMMER Zusammenhänge. Ich kann
jetzt nicht die Definitionen umdefinieren, damit Du Dich von diesen nicht
stören läßt.
> Aber wir haben doch gesagt dass wenn <s>= V dann EZS. Und wenn
> mein V doch der [mm]\IR^3[/mm] ist, dann brauch ich doch um diesen
> zu erzeugen 3 linear unabhängige Vektoren und bin schon
> wieder bei der Basis..
Es gilt [mm] $<\IR^3>=\IR^3\,.$ [/mm] Dafür brauchst Du nicht zu wissen, was eine
Basis ist. [mm] $=V\,$ [/mm] ist trivial. Warum?
> wo ist der Unterschied zwischen EZS und Basis ?
Eine Basis ist ein "minimales" EZS. EZSe müssen halt i.a. nicht "minimal"
sein!
> > > Stimmt das oder red ich malwieder quatsch ??
> >
> > Leider letzteres.
>
> Aus Fehlern lernt man und weiß es dann besser
Das war auch nicht böse gemeint. Ich habe nur die Wahrheit auf Deine
Frage geantwortet. Das Problem, was Du hast, ist zweierlei (ich kenne
das auch):
1. Du willst die Definitionen auch "veranschaulichen". Das brauchst Du
aber nicht, Du kannst auch "rein formal" per Definitionem arbeiten. Das
ist eh der bessere Weg. Wenn man das beherrscht, kann man DANACH
meinetwegen auch das Ganze anhand von Veranschaulischungen
verdeutlichen, was man verstanden hat. Und es anhand von "anschaulichen
Beispielen" dann sowohl erklären als auch 'vorrechnen'!
2. Ob das aus 1. resultiert, weiß ich nicht. Aber: Lerne die DEFINITIONEN
mal ganz genau, ohne, dass Du da selbst was zusammenreimst. Dann
passieren nicht solche Fehler, wie, dass jemand sagt:
"$v [mm] \in [/mm] V$ ist Linearkombination von [mm] $v_1,...,v_n\,,$ [/mm] wenn man
[mm] $v\,$ [/mm] als Summe ausgewählter [mm] $v_k$ [/mm] schreiben kann"
(auch ein "typischer" Fehler, der nur daraus resultiert, dass der Begriff
Linearkombination falsch verstanden oder nicht richtig gelernt wurde)
sondern dann sagst Du richtig:
"$v [mm] \in [/mm] V$ ist Linearkombination von [mm] $v_1,...,v_n\,,$ [/mm] wenn es Skalare [mm] $r_1,...,r_n \in [/mm] K$ gibt mit
[mm] $v=r_1*v_1+...+r_n*v_n\,.$ [/mm] (Anders geschrieben: [mm] $v=\sum_{k=1}^n r_k*v_k\,.$)"
[/mm]
> > P.S. Habe ich schon "Bosch, Lineare Algebra" erwähnt?
> > Gutes Buch, zwar
> > stark formal, aber eventuell kannst Du ja auch einfach
> mal
> > in die Bib gehen
> > und nur mal einen Blick reinwerfen!
>
> Ja, Danke, ich habs schon ausgeliehen, werd mich wohl mal
> ein paar Tage drin vertiefen
>
> PS. jede Antwort von dir wirft so viele neue Fragen auf,
> ich werd das erstmal alles verdauen müssen und damit hab
> ich bestimmt einige zeit arbeit..
Wie gesagt: Definitionen erstmal genauer lernen, dabei nichts
verschlampen und keine EIGENINTERPRETATIONEN draus machen, solange Du
noch nicht "rein per Definitionem" mit dem Begriff umgehen kannst. Das
hilft schonmal, solche Fehler wie hier zu vermeiden.
Ich empfehle - wie gesagt: Lerne zu arbeiten, ohne irgendwelche
Anschauung heranzuziehen. Wenn Du dann das Gefühl hast, dass Du
das nun gut beherrschst, dann kannst Du meinetwegen auch versuchen,
das Ganze nochmal auf ein paar "anschauliche Beispiele" zu übertragen!
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> wenn <S>= V, dann nennt man S Erzeugendensystem
Ja, eine Menge von Vektoren heißt Erzeugendensystem von V, wenn man jeden Vektor aus V als Linearkombination mit Vektoren aus S schreiben kann.
>
> eine andere Definition lautet: S heißt Basis, falls <S>= V
> und S linear unabhängig.
Genau. Wenn S zusätzlich linear unabhängig ist, dann nennt man S Basis. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
>
> also kommt bei der Basis die lineare Unabhängigleit dazu,
> was für mich bedeutet, dass ein Erzeugendensystem linear
> abhängig sein kann.
Richtig.
>
> Aber wie geht das denn? Wie können linear abhängige
> Vektoren den gesamten Vektorraum aufspannen
Du mußt genug Vektoren nehmen!
> (veranschaulicht für mich zB den [mm]\IR^3)[/mm] ??
Eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist [mm] B:=(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1})
[/mm]
Ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] ist z.B. [mm] S:=(\vektor{1\\2\\3}, \vektor{2\\4\\6},\vektor{1\\0\\0}, \vektor{3\\3\\3}, \vektor{4\\5\\6}\vektor{0\\1\\0}, \vektor{5\\5\\6}, \vektor{0\\0\\1})
[/mm]
Ihr habt in der Vorlesung sicher auch gelernt, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält, also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Dieses ist dann auch ein minimales Erzeugendensystem.
Z.B. enthält S die Basis [mm] B':=(\vektor{1\\2\\3},\vektor{3\\3\\3},\vektor{5\\5\\6}).
[/mm]
Man findet in S auch noch andere Basen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Hallo,
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> > wenn <S>= V, dann nennt man S Erzeugendensystem
>
> Ja, eine Menge von Vektoren heißt Erzeugendensystem von V,
> wenn man jeden Vektor aus V als Linearkombination mit
> Vektoren aus S schreiben kann.
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> >
> > eine andere Definition lautet: S heißt Basis, falls
> <S>= V
> > und S linear unabhängig.
>
> Genau. Wenn S zusätzlich linear unabhängig ist, dann
> nennt man S Basis. Eine Basis ist ein linear unabhängiges
> Erzeugendensystem.
>
> >
> > also kommt bei der Basis die lineare Unabhängigleit
> dazu,
> > was für mich bedeutet, dass ein Erzeugendensystem
> linear
> > abhängig sein kann.
>
> Richtig.
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> >
> > Aber wie geht das denn? Wie können linear abhängige
> > Vektoren den gesamten Vektorraum aufspannen
>
> Du mußt genug Vektoren nehmen!
>
> > (veranschaulicht für mich zB den [mm]\IR^3)[/mm] ??
>
> Eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] ist [mm]B:=(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1})[/mm]
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> Ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3[/mm] ist z.B.
> [mm]S:=(\vektor{1\\2\\3}, \vektor{2\\4\\6},\vektor{1\\0\\0}, \vektor{3\\3\\3}, \vektor{4\\5\\6}\vektor{0\\1\\0}, \vektor{5\\5\\6}, \vektor{0\\0\\1})[/mm]
>
> Ihr habt in der Vorlesung sicher auch gelernt, daß jedes
> Erzeugendensystem eine Basis enthält, also ein linear
> unabhängiges Erzeugendensystem.
> Dieses ist dann auch ein minimales Erzeugendensystem.
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> Z.B. enthält S die Basis
> [mm]B':=(\vektor{1\\2\\3},\vektor{3\\3\\3},\vektor{5\\5\\6}).[/mm]
> Man findet in S auch noch andere Basen.
Z.B. die zuvor erwähnte (Standard)-Basis [mm] $B\,.$ [/mm]
P.S. Du nutzt die "Familien"-Schreibweise, er die Mengenschreibweise, was
auch gemäß ihren Definitionen so sein sollte. Da gibt's "kleine" Unterschiede,
z.B. ist die Menge [mm] $\{(1,0),\;(1,0),\;(0,1)\} \subseteq \IR^2$ [/mm] linear unabhängig, denn [mm] $\{(1,0),\;(1,0),\;(0,1)\}=\{(1,0),\;(0,1)\}$ [/mm]
ist offenbar eine linear unabhängige Teilmenge des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] aber die Familie $((1,0),(1,0),(0,1))$
ist linear abhängig! Da sollte man ein wenig drauf achten, dass man die Leute nicht mit
sowas verwirrt...
Gruß,
Marcel
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