Durchschnitt offener Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mi 30.10.2013 | | Autor: | Orchis |
Hallo liebe Matheraumler,
ich habe da eine Frage, die hoffentlich nicht zu einfach ist, als dass sie keiner beachtet...und zwar: Ein Axiom für eine Topologie lautet ja, dass der Durchschnitt von Mengen der Topologie wieder eine Menge der Topologie ist. Warum reicht es aus den Schnitt von lediglich 2 Mengen zu betrachten? Ich denke, dass es ein Induktionsargument ist, oder? Also.
Seien A und B offen (bzgl. Topologie).
Angenommen wir zeigen also, dass der Schnitt dieser zwei Mengen offen ist:
n=2: [mm] A\capBB [/mm] offen
Induktionsschritt: n [mm] \mapsto [/mm] n+1
[mm] \bigcap_{i=1}^{n+1}A_i [/mm] = [mm] \bigcap_{i=1}^{n}A_i \cap A_{n+1} [/mm] und da nach Induktionsvorraussetzung [mm] \bigcap_{i=1}^{n}A_i [/mm] in der Topologie liegt, sowie [mm] \cap A_{n+1} [/mm] offen in der Topologie ist, dass der Schnitt dieser zwei Mengen aus der Topologie (quasi Fall n=2...) wieder in der Topologie liegt.
Das ist jetzt nicht richtig aufgeschrieben, aber ist die Idee so richtig?
Vielen Dank schonmal im Vorhinein!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Matheraumler,
> ich habe da eine Frage, die hoffentlich nicht zu einfach
> ist, als dass sie keiner beachtet...und zwar: Ein Axiom
> für eine Topologie lautet ja, dass der Durchschnitt von
> Mengen der Topologie wieder eine Menge der Topologie ist.
Vorsicht ! es handelt sich um den Durschnitt endlich vieler mengen der Topologie !
Der Durchscnit von unendlich vielen offenen Mengen ist im allgemeinen nicht offen. Beispiel ?
> Warum reicht es aus den Schnitt von lediglich 2 Mengen zu
> betrachten? Ich denke, dass es ein Induktionsargument ist,
> oder?
Genau.
> Also.
> Seien A und B offen (bzgl. Topologie).
> Angenommen wir zeigen also, dass der Schnitt dieser zwei
> Mengen offen ist:
> n=2: [mm]A\capBB[/mm] offen
> Induktionsschritt: n [mm]\mapsto[/mm] n+1
> [mm]\bigcap_{i=1}^{n+1}A_i[/mm] = [mm]\bigcap_{i=1}^{n}A_i \cap A_{n+1}[/mm]
> und da nach Induktionsvorraussetzung [mm]\bigcap_{i=1}^{n}A_i[/mm]
> in der Topologie liegt, sowie [mm]\cap A_{n+1}[/mm] offen in der
> Topologie ist, dass der Schnitt dieser zwei Mengen aus der
> Topologie (quasi Fall n=2...) wieder in der Topologie
> liegt.
> Das ist jetzt nicht richtig aufgeschrieben, aber ist die
> Idee so richtig?
ja
FRED
> Vielen Dank schonmal im Vorhinein!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Do 31.10.2013 | | Autor: | Orchis |
Vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast! :)
Richtig, dass es endlich viele sein müssen habe ich vergessen hinzuschreiben! Als Beispiel hatten wir z.B. einmal in der Vorlesung
[mm] \bigcap_{n\in\IN}^{} (0,1+\bruch{1}{n}) [/mm] = (0,1], was aber weder abgeschlossen, noch offen (bzgl. der natürlichen Topologie auf [mm] \IR [/mm] ist! D.h. der Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen muss nicht zwangsläufig offen sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast! :)
> Richtig, dass es endlich viele sein müssen habe ich
> vergessen hinzuschreiben! Als Beispiel hatten wir z.B.
> einmal in der Vorlesung
> [mm]\bigcap_{n\in\IN}^{} (0,1+\bruch{1}{n})[/mm] = (0,1], was aber
> weder abgeschlossen, noch offen (bzgl. der natürlichen
> Topologie auf [mm]\IR[/mm] ist! D.h. der Durchschnitt von unendlich
> vielen offenen Mengen muss nicht zwangsläufig offen sein.
So ist es.
FRED
|
|
|
|
