Dualraum/-basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 21.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum der reelen Polynomfunktionen vom Grad [mm] \le3. [/mm] Gegeben seien für i=0,1,2,3 die Linearformen
[mm] \phi_i :\begin{cases} V \mapsto \IR \\ f \mapsto \phi_i (f):= f(i-1) \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie dass die [mm] \phi_i [/mm] eine Basis [mm] B^{*} [/mm] des Dualraums [mm] V^{*} [/mm] von V bilden.
b) Geben SIe die Basis B= [mm] {f_0, f_1, f_2, f_3} [/mm] von V an , deren Dualbasis [mm] B^{*} [/mm] ist.
c)Stellen Sie die folgenden Linearformen [mm] \varphi: [/mm] V [mm] \mapsto \IR [/mm] als Linearkombinationen von Elementen in [mm] B^{*} [/mm] dar:
[mm] \phi(f) [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1} f(t)\, [/mm] dt
[mm] \phi(f) [/mm] = f'(1) |
Hallo!
Ich habe jetzt bei einer ähnlichen Aufgabe, wie bei der letzten die ich hierein gestellt habe, Probleme.
Bei dieser Aufgabe geht es wieder um Linearformen, Dualräume usw. Mein Problem fängt schon vor den Aufgaben selbst an, denn dort steht das V auf [mm] \IR [/mm] abgebildet wird, aber da V ja der Vektorraum der reelen Polynomfunktionen vom Grad [mm] \le3 [/mm] ist, also jede Polynomfkt. die Form [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm] besitzt, kann ich mir nur schwer vorstellen wie ich so eine Fkt. auf [mm] \IR [/mm] abbilden kann. Bei Aufgabe a) Was genau ist ein Dualraum(Ich weiß daß Ein Dualraum die Menge aller linearen Abbildungen von V [mm] \mapsto \IR [/mm] beinhaltet)?Aber was genau bedeutet daß bzw. wie kann ich mit diesem Raum arbeiten? Warum soll [mm] \phi_i [/mm] eine Basis dieses Dualraumes sein und nicht von V selber???
Danke schonmal im voraus!
MfG
Pubär
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Hallo pubaer,
> Es sei V der Vektorraum der reelen Polynomfunktionen vom
> Grad [mm]\le3.[/mm] Gegeben seien für i=0,1,2,3 die Linearformen
>
> [mm]\phi_i :\begin{cases} V \mapsto \IR \\ f \mapsto \phi_i (f):= f(i-1) \end{cases}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie dass die [mm]\phi_i[/mm] eine Basis [mm]B^{*}[/mm] des
> Dualraums [mm]V^{*}[/mm] von V bilden.
> b) Geben SIe die Basis B= [mm]{f_0, f_1, f_2, f_3}[/mm] von V an ,
> deren Dualbasis [mm]B^{*}[/mm] ist.
> c)Stellen Sie die folgenden Linearformen [mm]\varphi:[/mm] V
> [mm]\mapsto \IR[/mm] als Linearkombinationen von Elementen in [mm]B^{*}[/mm]
> dar:
>
> [mm]\phi(f)[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1} f(t)\,[/mm] dt
> [mm]\phi(f)[/mm] = f'(1)
> Ich habe jetzt bei einer ähnlichen Aufgabe, wie bei der
> letzten die ich hierein gestellt habe, Probleme.
> Bei dieser Aufgabe geht es wieder um Linearformen,
> Dualräume usw. Mein Problem fängt schon vor den Aufgaben
> selbst an, denn dort steht das V auf [mm]\IR[/mm] abgebildet wird,
> aber da V ja der Vektorraum der reelen Polynomfunktionen
> vom Grad [mm]\le3[/mm] ist, also jede Polynomfkt. die Form
> [mm]ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm] besitzt, kann ich mir nur schwer
> vorstellen wie ich so eine Fkt. auf [mm]\IR[/mm] abbilden kann.
Du findest in dieser aufgabe reichlich beispiele dafür, wie das gehen kann: zum beispiel, indem ich einem polynom den funktionswert an einer bestimmten stelle zuordne.
oder indem ich einer funktion (bzw polynom) ihr bestimmtes integral über ein intervall zuweise. genau diese abbildungen sind elemente des dualraumes.
>Bei
> Aufgabe a) Was genau ist ein Dualraum(Ich weiß daß Ein
> Dualraum die Menge aller linearen Abbildungen von V [mm]\mapsto \IR[/mm]
> beinhaltet)?Aber was genau bedeutet daß bzw. wie kann ich
> mit diesem Raum arbeiten? Warum soll [mm]\phi_i[/mm] eine Basis
> dieses Dualraumes sein und nicht von V selber???
siehe oben. nimm zB. [mm] $\phi_1$. [/mm] Mit diesem funktional (element des Dualraumes) weist du einem polynom seinen funktionswert an der stelle $0$ zu. Also zB. [mm] $\phi_1(x^2-1)=(x^2-1)(0)=-1$ [/mm] . und $-1$ ist eine reelle zahl, oder?
noch etwas zu der aufgabe: ich halte es fast für einfacher, erst b) zu erledigen. die basis [mm] $p_0,p_1,p_2,p_3$ [/mm] von $V$, deren duale basis die [mm] $\phi_i$ [/mm] sind, zeichnet sich durch folgendes aus:
[mm] $\phi_i(p_j)=\delta_{ij}$
[/mm]
dh. [mm] $p_0$ [/mm] hat an der stelle $-1$ den wert $1$ und an den stellen $0,1,2$ den wert $0$.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 21.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Hallo ncohmal!
Also wie ich von V auf [mm] \IR [/mm] abbilde habe ich jetzt verstanden. Danke!
Aber ich hab da dann noch hierzu ne Frage
> noch etwas zu der aufgabe: ich halte es fast für einfacher,
> erst b) zu erledigen. die basis [mm]p_0,p_1,p_2,p_3[/mm] von [mm]V[/mm],
> deren duale basis die [mm]\phi_i[/mm] sind, zeichnet sich durch
> folgendes aus:
>
> [mm]\phi_i(p_j)=\delta_{ij}[/mm]
>
>
> dh. [mm]p_0[/mm] hat an der stelle [mm]-1[/mm] den wert [mm]1[/mm] und an den stellen
> [mm]0,1,2[/mm] den wert [mm]0[/mm].
Wie kommst du dadrauf das [mm] p_0 [/mm] an der stelle -1 den wert 1 und bei den anderen 0 hat.
Wie kommst du auf die stelle -1? Meinst du damit f(i-1) für i=0?
Und was kann ich dann mit dem ergebnis der [mm] \delta_{ij}-Bedingung [/mm] anfangen? Wie kann ich daraus eine Basis bekommen?(Ist vielleicht immer für i=j, also [mm] \delta_{ij} [/mm] = 1, ein Element der Basis gefunden?)
MfG
Pubär
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 So 21.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Pubär,
Aufgabe b) ist eigentlich so ähnlich wie Deine andere Aufgabe zur Dualen Basis, nur dass man hier "umgekehrt" arbeitet.
In der anderen Aufgabe wurde ja eine allgemeine Linearform angesetzt und die zugehörigen Koeffizienten durch einsetzen der gegebenen Vektoren aus der [mm] \delta_{ij}-Bedingung [/mm] bestimmt.
Hier mach man das ganze einfach andersrum:
Ein allgemeines Polynom vom Grad <= 3 hat die Form
[mm]a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x+a_0[/mm]
Um das erste "Basispolynom" zu bestimmen setzt Du nun dieses allgemeine Polynom der Reihe nach in die [mm] \phi_i [/mm] ein und setzt das ganze gleich [mm] \delta_{0 i}. [/mm] Dann hast Du wieder 4 Gleichungen für die 4 unbekannten Koeffizienten und kannst [mm] f_0 [/mm] (oder [mm] p_0 [/mm] wie es Matthias genannt hat) bestimmen. Das gleiche dann noch dreimal für [mm] f_1 [/mm] bis [mm] f_3 [/mm] (jeweils mit angepassten [mm] \delta), [/mm] und die Basis ist fertig.
Gruß
piet
P.S.: Eigentlich ist es sogar die gleiche Aufgabe, denn das Duale des Dualraums ist ja wieder der Ausgangsraum...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 21.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Also würde das dann so aussehen:
[mm]\phi_i[/mm](f)=[mm]\delta_{0 i}.[/mm]
Für i=0:[mm]\phi_0[/mm](f)=f(-1)=
[mm] (a_3*(-1)^3 [/mm] + [mm] a_2*(-1)^2 [/mm] + [mm] a_1*(-1)+a_0)=[/mm] [mm]\delta_{0 0}.[/mm]
[mm] \gdw -a_3 [/mm] + [mm] a_2 -a_1 +a_0 [/mm] = 1
Für i=1
[mm] a_0=0
[/mm]
Für i=2
[mm] a_3 [/mm] + [mm] a_2 +a_1 +a_0 [/mm] = 0
Für i=3
[mm] 8a_3 [/mm] + [mm] 4a_2 +2a_1 +a_0=0
[/mm]
Daraus folgt dann das LGS:
[mm] \Rightarrow -a_3 [/mm] + [mm] a_2 -a_1 +a_0 [/mm] = 1
[mm] a_0=0
[/mm]
[mm] a_3 [/mm] + [mm] a_2 +a_1 +a_0 [/mm] = 0
[mm] 8a_3 [/mm] + [mm] 4a_2 +2a_1 +a_0=0
[/mm]
Mit den Lösungen [mm] a_0=0, a_1= [/mm] -1/3, [mm] a_2= [/mm] 1/2, [mm] a_3=-1/6
[/mm]
Also [mm] ist:f_0= -1/6*x^{3}+ [/mm] 1/2 [mm] x^{2}-1/3*x [/mm] eine Basis von [mm] \phi_0
[/mm]
Analog mit verändertem [mm] \delta_{ij} [/mm] findet man die anderen Basen.
Also mit [mm] \delta_{i1} [/mm] , [mm] \delta_{i2} ,\delta_{i3} [/mm] ?!
Wenn das richtig sein sollte (was ich hoffe...) wüsst ich aber immer noch nicht wie ich mit diesem Ergebnis dann zeigen kann, dass [mm] \phi_i [/mm] eine Basis des Dualraumes von V bildet(aufgabe a))
MfG
Pubär
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hi,
> Also würde das dann so aussehen:
>
> [mm]\phi_i[/mm](f)=[mm]\delta_{0 i}.[/mm]
>
> Für i=0:[mm]\phi_0[/mm](f)=f(-1)=
> [mm](a_3*(-1)^3[/mm] + [mm]a_2*(-1)^2[/mm] + [mm]a_1*(-1)+a_0)=[/mm] [mm]\delta_{0 0}.[/mm]
> [mm]\gdw -a_3[/mm] + [mm]a_2 -a_1 +a_0[/mm] = 1
>
> Für i=1
> [mm]a_0=0[/mm]
>
> Für i=2
> [mm]a_3[/mm] + [mm]a_2 +a_1 +a_0[/mm] = 0
>
> Für i=3
> [mm]8a_3[/mm] + [mm]4a_2 +2a_1 +a_0=0[/mm]
>
> Daraus folgt dann das LGS:
> [mm]\Rightarrow -a_3[/mm] + [mm]a_2 -a_1 +a_0[/mm] = 1
> [mm]a_0=0[/mm]
> [mm]a_3[/mm] + [mm]a_2 +a_1 +a_0[/mm] = 0
> [mm]8a_3[/mm] + [mm]4a_2 +2a_1 +a_0=0[/mm]
>
> Mit den Lösungen [mm]a_0=0, a_1=[/mm] -1/3, [mm]a_2=[/mm] 1/2, [mm]a_3=-1/6[/mm]
>
> Also [mm]ist:f_0= -1/6*x^{3}+[/mm] 1/2 [mm]x^{2}-1/3*x[/mm] eine Basis von
> [mm]\phi_0[/mm]
Genauer: [mm] $f_0$ [/mm] ist ein vektor aus der Basis, deren duale basis die [mm] $\phi_i$ [/mm] sind.
hoffentlich verwirre ich dich jetzt nicht komplett, aber ich würde die [mm] $f_i$ [/mm] einfacher (und anders) berechnen. zB. [mm] $f_0$ [/mm] soll an der stelle -1 den wert 1 haben und sonst ( an 0,1,2) den wert 0. das heißt aber, dass [mm] $f_0$ [/mm] folgende form haben muss
[mm] $f_0=c\cdot(x-0)(x-1)(x-2)=c\cdot [/mm] x(x-1)(x-2)$
dann gilt schon mal [mm] $f_0(0)=f_0(1)=f_0(2)=0$. [/mm] du musst jetzt nur noch die konstante $c$ so wählen, dass [mm] $f_0(-1)=1$ [/mm] gilt. durch einsetzen erhältst du recht leicht [mm] $c=-\frac16$. [/mm] ich denke, dein ergebnis ist das gleiche, prüfe das mal nach.
analog bestimmst du leicht die übrigen [mm] $f_i$.
[/mm]
>
> Analog mit verändertem [mm]\delta_{ij}[/mm] findet man die anderen
> Basen.
> Also mit [mm]\delta_{i1}[/mm] , [mm]\delta_{i2} ,\delta_{i3}[/mm] ?!
>
> Wenn das richtig sein sollte (was ich hoffe...) wüsst ich
> aber immer noch nicht wie ich mit diesem Ergebnis dann
> zeigen kann, dass [mm]\phi_i[/mm] eine Basis des Dualraumes von V
> bildet(aufgabe a))
wenn du nun argumentierst kannst, dass die [mm] $f_i$ [/mm] eine basis des ursprungsraums (polynome grad [mm] $\le [/mm] 3$) bilden, folgt automatisch, dass die [mm] $\phi_i$ [/mm] eine basis des dualraums sind, denn nach b) sind sie ja die duale basis!
eigentlich musst du also nur zeigen, dass die [mm] $f_i$ [/mm] linear unabhängig sind, was eigentlich direkt aus der konstruktion folgt.....
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Hallo.
Ich glaub ich habe deinen weg auch verstanden, habe alles auf beiden wegen durchgerechnet und die ergebnisse stimmen alle überein. 
Dankeschön!
MfG
Pubär
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