Dualraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Fr 14.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei V ein dreidimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis [mm] S=(s_{1},s_{2},s_{3}). [/mm] Seien weiter [mm] u,v_{2},v_{3},w_{2},w_{3} \in [/mm] V mit
[mm] u_{S}=(1,2,3)^{T}, (v_{2})_{S}=(1,1,0)^{T}, (v_{3})_{S}=(0,1,1)^{T}, (w_{2})_{S}=(0,1,2)^{T}, (w_{3})_{S}=(1,1,1)^{T} [/mm]
und [mm] B=(s_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] und [mm] C=(s_{1},w_{2},w_{3}) [/mm] zwei weitere Basen.
a) Wir betrachten [mm] s^{\*}_{1} [/mm] einmal als Element von [mm] B^{\*} [/mm] und einmal als Element aus [mm] C^{\*} [/mm] und schreiben dafür [mm] (s^{\*}_{1})_{B^{\*}} [/mm] bzw. [mm] (s^{\*}_{1})_{C^{\*}}. [/mm] Berechnen Sie [mm] (s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(u) [/mm] und [mm] (s^{\*}_{1})_{C^{\*}}(u).
[/mm]
b) Bestimmen Sie [mm] M=\{w \in V : (s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(w)=(s^{\*}_{1})_{C^{\*}}(w)=0 \}.
[/mm]
c) Sei nun [mm] \overline{V} [/mm] ein n-dimensionaler [mm] \IR-Vektorraum, \overline{v} \in \overline{V} [/mm] und [mm] \overline{B}, \overline{C} [/mm] zwei Basen, die [mm] \overline{v} [/mm] enthalten. Welche Dimension kann dann die folgende Menge haben? (Begründung)
[mm] \overline{M}=\{\overline{w} \in \overline{V} : \overline{v^{\*}_{B^{\*}}}(\overline{w})=\overline{v^{\*}_{C^{\*}}}(\overline{w})=0\} [/mm] |
Hallo liebe Forenmitglieder 
Habe diese Aufgabe bearbeitet, bin mir aber recht unsicher. Wäre super, wenn jemand nochmal drübergucken könnte
zu a)
[mm] u_{S}=s_{1}+2s_{2}+3s_{3}
[/mm]
[mm] B=(s_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] = [mm] (s_{1},s_{1}+s_{2},s_{2}+s_{3})
[/mm]
[mm] u_{B}= \lambda_{1}s_{1}+\lambda_{2}(s_{1}+s_{2})+\lambda_{3}(s_{2}+s_{3})=2s_{1}-(s_{1}+s_{2})+3(s_{2}+s_{3})=s_{1}+2s_{2}+3s_{3}
[/mm]
Also [mm] u_{B}=(2,-1,3)^{T}
[/mm]
[mm] (s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(u)=(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(2s_{1}-v_{2}+3v_{3})=2(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(s_{1})-(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(v_{2})+3(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(v_{3})=2-0+0=2
[/mm]
Für [mm] C^{\*} [/mm] analog.
zu b)
[mm] M=\{\lambda\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\lambda \in \IR \}.
[/mm]
zu c)
dim [mm] \overline{V}=dim \overline{V^{\*}}=n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da sowohl [mm] \overline{B}, [/mm] als auch [mm] \overline{C} [/mm] das Element [mm] \overline{v} [/mm] enthalten, gilt für die Dimension von [mm] \overline{M}: dim\overline{M}=n-1
[/mm]
Hoffe, das dies wenigstens halbwegs richtig ist
LG,
DrRiese
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 So 16.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
Keiner da, der kurz drübergucken möchte? :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Mo 17.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin DrRiese!
> Sei V ein dreidimensionaler [mm]\IR-Vektorraum[/mm] mit Basis
> [mm]S=(s_{1},s_{2},s_{3}).[/mm] Seien weiter
> [mm]u,v_{2},v_{3},w_{2},w_{3} \in[/mm] V mit
> [mm]u_{S}=(1,2,3)^{T}, (v_{2})_{S}=(1,1,0)^{T}, (v_{3})_{S}=(0,1,1)^{T}, (w_{2})_{S}=(0,1,2)^{T}, (w_{3})_{S}=(1,1,1)^{T}[/mm]
> und [mm]B=(s_{1},v_{2},v_{3})[/mm] und [mm]C=(s_{1},w_{2},w_{3})[/mm] zwei
> weitere Basen.
>
> a) Wir betrachten [mm]s^{\*}_{1}[/mm] einmal als Element von [mm]B^{\*}[/mm]
> und einmal als Element aus [mm]C^{\*}[/mm] und schreiben dafür
> [mm](s^{\*}_{1})_{B^{\*}}[/mm] bzw. [mm](s^{\*}_{1})_{C^{\*}}.[/mm] Berechnen
> Sie [mm](s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(u)[/mm] und [mm](s^{\*}_{1})_{C^{\*}}(u).[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie [mm]M=\{w \in V : (s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(w)=(s^{\*}_{1})_{C^{\*}}(w)=0 \}.[/mm]
>
> c) Sei nun [mm]\overline{V}[/mm] ein n-dimensionaler [mm]\IR-Vektorraum, \overline{v} \in \overline{V}[/mm]
> und [mm]\overline{B}, \overline{C}[/mm] zwei Basen, die [mm]\overline{v}[/mm]
> enthalten. Welche Dimension kann dann die folgende Menge
> haben? (Begründung)
> [mm]\overline{M}=\{\overline{w} \in \overline{V} : \overline{v^{\*}_{B^{\*}}}(\overline{w})=\overline{v^{\*}_{C^{\*}}}(\overline{w})=0\}[/mm]
>
> zu a)
> [mm]u_{S}=s_{1}+2s_{2}+3s_{3}[/mm]
> [mm]B=(s_{1},v_{2},v_{3})[/mm] = [mm](s_{1},s_{1}+s_{2},s_{2}+s_{3})[/mm]
> [mm]u_{B}= \lambda_{1}s_{1}+\lambda_{2}(s_{1}+s_{2})+\lambda_{3}(s_{2}+s_{3})=2s_{1}-(s_{1}+s_{2})+3(s_{2}+s_{3})=s_{1}+2s_{2}+3s_{3}[/mm]
>
> Also [mm]u_{B}=(2,-1,3)^{T}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(u)=(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(2s_{1}-v_{2}+3v_{3})=2(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(s_{1})-(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(v_{2})+3(s^{\*}_{1})_{B^{\*}}(v_{3})=2-0+0=2[/mm]
Sieht gut aus!
> Für [mm]C^{\*}[/mm] analog.
>
> zu b)
> [mm]M=\{\lambda\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\lambda \in \IR \}.[/mm]
Wie kommst du dadrauf? Und bzgl. welcher Basis gibst du den Vektor $(0, 1, [mm] 1)^T$ [/mm] an?
> zu c)
> dim [mm]\overline{V}=dim \overline{V^{\*}}=n[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] da
> sowohl [mm]\overline{B},[/mm] als auch [mm]\overline{C}[/mm] das Element
> [mm]\overline{v}[/mm] enthalten, gilt für die Dimension von
> [mm]\overline{M}: dim\overline{M}=n-1[/mm]
Das stimmt nicht (bzw. muss nicht stimmen!), denn sonst haette die Menge in b) Dimension 2 und nicht 1.
Beschreib doch mal genauer wie du darauf gekommen bist. Und was du bei b) gemacht hast.
LG Felix
|
|
|
|
