Dualraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] $V^\(\*\)$$=Hom(V,K)$ [/mm] heißt Dualraum von V |
Wenn ich das jetzt richtig verstehe gilt doch,
[mm] $V^\(\*\)$$=\phi: V\to [/mm] K$ mit,
1) [mm] $\phi(v+w)=\phi(v)+ \phi(w), \forall v,w\in [/mm] V$
2) [mm] $\phi(\alpha*v)= \alpha* \phi(v), \forall v\in [/mm] V, [mm] \alpha\in [/mm] K$
Heißt das jetzt, dass die Elemente der Bildmenge die ELemente des Dualraums sind??
Ich tu mich etwas schwer mit dem Dualraum.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mi 14.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> [mm]V^\(\*\)[/mm][mm]=Hom(V,K)[/mm] heißt Dualraum von V
> Wenn ich das jetzt richtig verstehe gilt doch,
>
> [mm]V^\(\*\)[/mm][mm]=\phi: V\to K[/mm] mit,
hier kein Gleichheitszeichen, $ [mm] \phi \in V^\(\*\)$
[/mm]
>
> 1) [mm]\phi(v+w)=\phi(v)+ \phi(w), \forall v,w\in V[/mm]
> 2)
> [mm]\phi(\alpha*v)= \alpha* \phi(v), \forall v\in V, \alpha\in K[/mm]
>
> Heißt das jetzt, dass die Elemente der Bildmenge die
> ELemente des Dualraums sind??
Die Elemente des Dualraums sind die linearen Abbildungen [mm] $\phi$, [/mm] die du beschriebem hast.
>
> Ich tu mich etwas schwer mit dem Dualraum.
>
>
Gruß meili
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > [mm]V^\(\*\)[/mm][mm]=Hom(V,K)[/mm] heißt Dualraum von V
> > Wenn ich das jetzt richtig verstehe gilt doch,
> >
> > [mm]V^\(\*\)[/mm][mm]=\phi: V\to K[/mm] mit,
> hier kein Gleichheitszeichen, [mm]\phi \in V^\(\*\)[/mm]
Wäre [mm] $V^\(\*\):=\phi: V\to [/mm] K richtig??
> >
> > 1) [mm]\phi(v+w)=\phi(v)+ \phi(w), \forall v,w\in V[/mm]
> > 2)
> > [mm]\phi(\alpha*v)= \alpha* \phi(v), \forall v\in V, \alpha\in K[/mm]
>
> >
> > Heißt das jetzt, dass die Elemente der Bildmenge die
> > ELemente des Dualraums sind??
> Die Elemente des Dualraums sind die linearen Abbildungen
> [mm]\phi[/mm], die du beschriebem hast.
Also ist [mm] $\phi(v)\in V^\(\*\)$
[/mm]
richtig??
> >
> > Ich tu mich etwas schwer mit dem Dualraum.
> >
> >
> Gruß meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mi 14.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > [mm]V^\(\*\)[/mm][mm]=Hom(V,K)[/mm] heißt Dualraum von V
> > > Wenn ich das jetzt richtig verstehe gilt doch,
> > >
> > > [mm]V^\(\*\)[/mm][mm]=\phi: V\to K[/mm] mit,
> > hier kein Gleichheitszeichen, [mm]\phi \in V^\(\*\)[/mm]
>
> Wäre [mm]$V^\(\*\):=\phi: V\to[/mm] K richtig??
Nein
Betrachtet man [mm]$V^\(\*\)[/mm] nur als Menge, ohne die Verknüpfungen, die ihn zum Vektorraum machen, kann man dafür schreiben [mm]$V^\(\*\):= \{\phi: V\to K \ | \ \phi \ linear \}[/mm]
die Elemente sind lineare Abbildungen von V nach K
>
> > >
> > > 1) [mm]\phi(v+w)=\phi(v)+ \phi(w), \forall v,w\in V[/mm]
> > >
> 2)
> > > [mm]\phi(\alpha*v)= \alpha* \phi(v), \forall v\in V, \alpha\in K[/mm]
>
> >
> > >
> > > Heißt das jetzt, dass die Elemente der Bildmenge die
> > > ELemente des Dualraums sind??
> > Die Elemente des Dualraums sind die linearen
> Abbildungen
> > [mm]\phi[/mm], die du beschriebem hast.
>
> Also ist [mm]\phi(v)\in V^\(\*\)[/mm]
> richtig??
Nein, [mm]\phi(v)\in K[/mm] ist das Bild von v unter der Abbildung [mm] $\phi$, [/mm] also ein Element des Kürpers K.
>
> > >
> > > Ich tu mich etwas schwer mit dem Dualraum.
> > >
> > >
> > Gruß meili
>
Gruß meili
|
|
|
| |
|
Heißt das, dass der Dualraum die Menge aller möglichen Abbildungen innerhalb eines Vektorraums und seines Körpers?
Damit meine ich, ist das die Menge aller Abbildungsvorschriften die linear sind?
Wenn ja, heißen dann die Elemente [mm] $v\mapsto [/mm] k=2*v$ usw. ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Heißt das, dass der Dualraum die Menge aller möglichen
> Abbildungen innerhalb eines Vektorraums und seines
> Körpers?
>
> Damit meine ich, ist das die Menge aller
> Abbildungsvorschriften die linear sind?
Meili hats doch schon gesagt: der Dualraum von V ist =$ [mm] \{\phi: V\to K \ | \ \phi \ linear \} [/mm] $
>
> Wenn ja, heißen dann die Elemente [mm]v\mapsto k=2*v[/mm] usw. ???
???????????? was soll das denn ?
FRED
|
|
|
| |
|
Ich komm da einfach nicht dahinter.
Wenn ich $Hom(V,K)$ betrachte.
Sei [mm] $V=\IR^3$
[/mm]
Dann ist [mm] \phi:\IR^3\to \IR$
[/mm]
Der Dualraum zu $V$ ist doch auch ein Vektorraum, hat eine Basis und Vektoren als Elemente.
Sagen wir z.b [mm] \phi_1 [/mm] bildet [mm] $(x,y,z)\mapsto(x+y+z)$ [/mm] ab.
Weiter bildet [mm] \phi_2 [/mm] bildet [mm] $(x,y,z)\mapsto(x-y-z)$ [/mm] ab.
Ist dann [mm] $\phi_1+\phi_2$ [/mm] ein Element des Dualraums? Also $(x+y+z)+(x-y-z)$? Also immer auch vorrausgesetzt, dass die operatonen im Dualraum ebenfalls linear sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Na also ! Du kennst den Dualraum von V doch:
$ Hom(V,K) $
FRED
|
|
|
| |
|
JUHU....
Wenn man es mal hat, ist es eigentlich gar nicht so schwer.... 
Ohhh so macht lernen Spaß.
|
|
|
| |
|
> [mm]V^\(\*\)[/mm][mm]=Hom(V,K)[/mm] heißt Dualraum von V
Hallo,
ich wiederhole einiges, was hier im Thread schon gesagt wurde, vielleicht ist es trotzdem nützlich.
Wenn Du einen Vektorraum V über einem Körper K hast, dann enthält sein Dualraum [mm] V^{\*} [/mm] sämtliche lineare Abbildungen, die aus dem V in den K abbilden.
Also: die Elemente von [mm] V^{\*} [/mm] sind gewisse Abbildungen. Es sind weder Elemente von V, noch solche von K.
Wir betrachten jetzt mal den VR [mm] \IR^3 [/mm] über dem Körper [mm] \IR.
[/mm]
Der Dualraum [mm] (\IR^3)^{\*} [/mm] enthält alle linearen Abbildungen, die aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden.
Du stelltest die Frage, wie diese Abbildungen aussehen.
Es ist z.B. die Abbildung
[mm] \phi: \IR^3\to \IR [/mm] mit
[mm] \phi(\vektor{x\\y\\z}):=x+2y+3z
[/mm]
ein Element des zum [mm] \IR^3 [/mm] dualen Raumes.
(anders notiert: [mm] \phi(\vektor{x\\y\\z}):=\pmat{1&2&3}*\vektor{x\\y\\z} [/mm] )
Ich hoffe, daß Du jetzt eine Ahnung davon bekommen hast, was die Elemente des Dualraumes sind.
Man stellt fest, daß der Dualraum mit den beiden einschlägigen Verknüpfungen (Addition v. Funktionen und Multiplikation v. Funktionen mit Elementen aus K) einen Vektorraum bildet.
Das würde in der Vorlesung gezeigt, Du solltest das nachlesen.
Als nächstes interessiert man sich für die Dimension des Dualraumes [mm] V^{\*}, [/mm] und man stellt fest: wenn dim V=n, dann ist auch dim [mm] V^{\*}=n.
[/mm]
In diesem Zusammenhang begegnet Dir der Begriff der zu einer Basis B von V dualen Basis.
Mit diesem wirst Du Dich in Ruhe beschäftigen müssen - aber soweit bist Du im Moment ja noch nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
