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| Aufgabe | | Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums V über K und sein f [mm] \in U^{0}. [/mm] Zeigen, Sie, dass die Abbildung g:V/U [mm] \to [/mm] K durch g(v+U)=f(v) wohldefiniert ist und aus (V/U)*. |
Hallo..ich habe wiedermal erstmal ne reine Verständnisfrage was heißt dieses [mm] U^{0} [/mm] diese notation haben wir in der vorlesung nicht verwendet und das die 0 im untervektorraum drin ist ist ja eigentlich klar also was sagt mir dieser Ausdruck sonst noch?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mo 18.01.2010 | | Autor: | pelzig |
[mm] U^0 [/mm] ist wahrscheinlich das "orthogonale Komplement", d.h. der Untervektorraum [mm] $\{f\in V^\*\mid\ker f\supset U\}\subset V^\*$.
[/mm]
Gruß, Robert
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> [mm]U^0[/mm] ist wahrscheinlich das "orthogonale Komplement", d.h.
> der Untervektorraum [mm]\{f\in V^\*\mid\ker f\supset U\}\subset V^\*[/mm].
>
> Gruß, Robert
Okay ich habe jetzt doch noch ne Definition gefunden und zwar:
[mm] U^{0} [/mm] := [mm] \{ f \in V^\* / f(u)=0 \forall u \in U\} [/mm] = [mm] \{ f \in V^\* | ker f \subset U\}
[/mm]
so um zu zeigen, dass die wwohldefiniert sind muss ich doch zeigen, dass es egal ist welches Element ich aus der Äquivalenzklasse nehm es muss immer das gleiche raus kommen (Repräsentantenunabhängigkeit) geht das denn so:
Sei v, v' [mm] \in [/mm] U so gilt:
g(v+U)=f(v)=0=f(v')=g(v'+U)
mir scheint das so zu leicht zu sein aber wie kann ich es anders machen?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 19.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei v, v' [mm]\in[/mm] U so gilt:
Wohl eher [m]v,v'\in V[/m] mit [m]v-v'\in U[/m], oder?
> g(v+U)=f(v)=0=f(v')=g(v'+U)
Nicht ganz, aber ähnlich.
> mir scheint das so zu leicht zu sein aber wie kann ich es
> anders machen?
Naja, es ist extrem leicht - bloß musst du nur die richtige Definition von Nebenklassen einsetzen.
SEcki
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> > Sei v, v' [mm]\in[/mm] U so gilt:
>
> Wohl eher [m]v,v'\in V[/m] mit [m]v-v'\in U[/m], oder?
ja klar muss ich dann v~v' [mm] \gdw [/mm] v-v' [mm] \in [/mm] U?
weil reflexiv, symmetrie und transitivität wären ja kein problem aber das nützt mir dann doch für die wohldefineirtheit auch nicht oder?
> > g(v+U)=f(v)=0=f(v')=g(v'+U)
>
> Nicht ganz, aber ähnlich.
kannst du mir vll nen Ansatz geben?
> > mir scheint das so zu leicht zu sein aber wie kann ich es
> > anders machen?
>
> Naja, es ist extrem leicht - bloß musst du nur die
> richtige Definition von Nebenklassen einsetzen.
>
> SEcki
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Also mach dir erstmal klar, dass [mm] $v+U=v'+U\gdw v-v'\in [/mm] U$ gilt. Was du also zeigen musst ist [mm] $v-v'\in U\Rightarrow [/mm] f(v)=f(v')$. Achja und übrigens muss es wirklich [mm] $U\subset\ker [/mm] f$ heißen und nicht umgekehrt wie du geschrieben hast, sonst geht es nämlich nicht! Aber nun ist es eigentlich trivial...
Gruß, Robert
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> Also mach dir erstmal klar, dass [mm]v+U=v'+U\gdw v-v'\in U[/mm]
> gilt. Was du also zeigen musst ist [mm]v-v'\in U\Rightarrow f(v)=f(v')[/mm].
> Achja und übrigens muss es wirklich [mm]U\subset\ker f[/mm] heißen
> und nicht umgekehrt wie du geschrieben hast, sonst geht es
> nämlich nicht! Aber nun ist es eigentlich trivial...
>
> Gruß, Robert
Okay so ich habe das jetzt mal versucht und wollte ein feedback bekommen ob das so richtig ist:
Sei v, v' [mm] \in [/mm] V mit v, v' [mm] \in [/mm] U
Da v~v' gilt ist die Abbildung V/U [mm] \to [/mm] K injektiv. Dem zu folge ist ker f : 0
Da U [mm] \in [/mm] ker f ==> U=0
DEs weiteren gilt: v-v' [mm] \in [/mm] U
==> v-v'=0
==> v=v'
=> f[v] = f[v']
Somit wäre gezeigt, dass f wohldefiniert ist. Hieraus folgt des Weiteren:
g(v+U)=f[v]=0=f[v']=g(v'+u)
Somit wäre auch gezeigt. dass g wohldefiniert ist.
Geht das so oder gibt es da noch ne bessere Möglichkeit daran zu gehen. Ich bin leider auf nichts anderes gekommen:(
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
So hier dein Feedback:
> Sei v, v' [mm]\in[/mm] V mit v, v' [mm]\in[/mm] U
>
> Da v~v' gilt ist die Abbildung V/U [mm]\to[/mm] K injektiv.
Hä? Welche Abbildung? Warum ist die injektiv? Und was meinst du mit [mm] $v\sim [/mm] v'$
> Dem zu folge ist ker f : 0
Was soll das heißen, "ker f : 0"
> Da U [mm]\in[/mm] ker f ==> U=0
Das kann überhaupt nicht sein. U ist eine Teilmenge von V die Elemente in [mm] $\ker [/mm] f$ sind Vektoren, es kann also nicht [mm] $U\in\ker [/mm] f$ sein.
> DEs weiteren gilt: v-v' [mm]\in[/mm] U
> ==> v-v'=0
> ==> v=v'
> => f[v] = f[v']
Das wäre okay, wenn U wirklich [mm] $\{0\}$ [/mm] wäre, aber das ist im allgemeinen nicht der Fall. Was mich aber wundert, warum schreibst du $f[v]$ mit eckigen Klammern?!
> Somit wäre gezeigt, dass f wohldefiniert ist.
Nein, bei $f$ gibt es keine Wohldefiniertheit zu zeigen, das ist einfach gegeben als eine wunderbare, "intakte" lineare Abbildung.
> Hieraus folgt des Weiteren:
> g(v+U)=f[v]=0=f[v']=g(v'+u)
> Somit wäre auch gezeigt. dass g wohldefiniert ist.
Dein Beweis ist leider komplett falsch. Aber mach dir nix draus, es ist noch kein Meister vom Himmel gefallen 
Gruß, Robert
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> So hier dein Feedback:
> > Sei v, v' [mm]\in[/mm] V mit v, v' [mm]\in[/mm] U
ich meinte mit v-v' [mm] \in [/mm] U
> > Da v~v' gilt ist die Abbildung V/U [mm]\to[/mm] K injektiv.
> Hä? Welche Abbildung? Warum ist die injektiv? Und was
> meinst du mit [mm]v\sim v'[/mm]
Ich wolte damit sagen, dass v~v' eine äquivalenzrelation ist und da hab ich meinen ganzen beweis drauf gestützt aber das war jawohl verkehrt:-(
> > Dem zu folge ist ker f : 0
> Was soll das heißen, "ker f : 0"
> > Da U [mm]\in[/mm] ker f ==> U=0
> Das kann überhaupt nicht sein. U ist eine Teilmenge von V
> die Elemente in [mm]\ker f[/mm] sind Vektoren, es kann also nicht
> [mm]U\in\ker f[/mm] sein.
> > DEs weiteren gilt: v-v' [mm]\in[/mm] U
> > ==> v-v'=0
> > ==> v=v'
> > => f[v] = f[v']
> Das wäre okay, wenn U wirklich [mm]\{0\}[/mm] wäre, aber das ist
> im allgemeinen nicht der Fall. Was mich aber wundert, warum
> schreibst du [mm]f[v][/mm] mit eckigen Klammern?!
>
weil ich von v und v' als äquivalenzklasse ausgehen wollte...
> > Somit wäre gezeigt, dass f wohldefiniert ist.
> Nein, bei [mm]f[/mm] gibt es keine Wohldefiniertheit zu zeigen, das
> ist einfach gegeben als eine wunderbare, "intakte" lineare
> Abbildung.
> > Hieraus folgt des Weiteren:
> > g(v+U)=f[v]=0=f[v']=g(v'+u)
> > Somit wäre auch gezeigt. dass g wohldefiniert ist.
>
> Dein Beweis ist leider komplett falsch. Aber mach dir nix
> draus, es ist noch kein Meister vom Himmel gefallen
>
das heißt ich bin wieder bei 0 kannst du mir denn vll nen Tipp geben in was für ne Richtung ich gehen muss..hat das denn irgendwas mit der Linearität von f zu tun?
> Gruß, Robert
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:56 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
muss man das denn über die linearität machen oder welche eigenschaft muss ich mir zu nutzen machen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:06 Do 21.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
Hey..solangsam raubt mir diese Aufgabe die Nerven...ich wollt das ja erst über äquivalenzklassen amchen, das ging nicht denn mit der Linearität komm ich irgendwie auch nicht zum gewünschten Ziel..was kann ich denn noch verwenden?
LG Schmetterfee
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> Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums V über K und
> sein f [mm]\in U^{0}.[/mm] Zeigen, Sie, dass die Abbildung g:V/U [mm]\to[/mm]
> K durch g(v+U)=f(v) wohldefiniert ist und aus (V/U)*.
[mm] U^0:={f\in V^{\*}| U\subseteq Kern f}, [/mm] die Elemente aus [mm] U^0 [/mm] bilden also jedes Element aus U auf die Null ab.
Hallo,
es besteht nun die Gefahr, daß ich Dinge wiederhole, die die Vorredner schon gesagt haben, aber da sie nicht gehört oder verstanden wurden, scheint mir das eher passend als schlimm zu sein.
Was ist der Auftrag?
Man soll zeigen, daß die oben definierte Funktion g wohldefiniert ist, und daß sie aus [mm] (V/U)^{\*} [/mm] ist.
Wohldefiniertheit:
ich glaube, Du nanntest das Wort bereits: "Repräsentantenunabhängigkeit".
Bei Äquivalenzklassen kann es vorkommen, daß sie gleich sind, obgleich sie auf den ersten Blick unterschiedlich aussehen.
Es kann gelten [mm] v_1+U=v_2+U, [/mm] obgleich [mm] v_1\not=v_2.
[/mm]
Wenn nun die Funktionswerte für [mm] v_1+U [/mm] und [mm] v_2+U [/mm] unterschiedlich wären, so könnten wir die Funktion g in die Tonne koppen - denn es wäre keine Funktion.
Du mußt nun zeigen:
Für [mm] v_1+U=v_2+U [/mm] ist [mm] g(v_1+U)=g(v_2+U).
[/mm]
Beweis: sei [mm] v_1+U=v_2+U [/mm] dann ist ... [mm] \in [/mm] U.
Also ist f(...)= ???
==> f(...)=f(...)
==> [mm] g(v_1+U)=g(v_2+U).
[/mm]
Unterwegs nutzt Du die Linearität von f. (Warum ist f linear?)
Weiter sollst Du zeigen, daß [mm] g\in (V/U)^{\*} [/mm] ist.
Ansatz: was sind die Elemente von [mm] (V/U)^{\*}? [/mm] Katzen, Türklinken, Zahlen, Funktionen mit bestimmten Eigenschaften?
Wenn Du das notiert hast, steht damit der Fahrplan - er wird auch hier von den Definitionen vorgegeben.
Immer, wenn irgendwas Unbekanntes auftaucht, muß man sich fragen:"Was ist das?" (Wie im kl. Kathechismus.)
Dies versucht man dann tunlichst anhand der Unterlagen zu beantworten. So lernt man Mathematik.
Nicht, indem man sich wie ein Vogelbaby füttern läßt. Selber fressen, lautet die Parole!
Gruß v. Angela
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> > Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums V über K und
> > sein f [mm]\in U^{0}.[/mm] Zeigen, Sie, dass die Abbildung g:V/U [mm]\to[/mm]
> > K durch g(v+U)=f(v) wohldefiniert ist und aus (V/U)*.
>
> [mm]U^0:={f\in V^{\*}| U\subseteq Kern f},[/mm] die Elemente aus [mm]U^0[/mm]
> bilden also jedes Element aus U auf die Null ab.
>
> Hallo,
>
> es besteht nun die Gefahr, daß ich Dinge wiederhole, die
> die Vorredner schon gesagt haben, aber da sie nicht gehört
> oder verstanden wurden, scheint mir das eher passend als
> schlimm zu sein.
>
> Was ist der Auftrag?
>
> Man soll zeigen, daß die oben definierte Funktion g
> wohldefiniert ist, und daß sie aus [mm](V/U)^{\*}[/mm] ist.
>
>
> Wohldefiniertheit:
>
> ich glaube, Du nanntest das Wort bereits:
> "Repräsentantenunabhängigkeit".
>
> Bei Äquivalenzklassen kann es vorkommen, daß sie gleich
> sind, obgleich sie auf den ersten Blick unterschiedlich
> aussehen.
>
> Es kann gelten [mm]v_1+U=v_2+U,[/mm] obgleich [mm]v_1\not=v_2.[/mm]
>
> Wenn nun die Funktionswerte für [mm]v_1+U[/mm] und [mm]v_2+U[/mm]
> unterschiedlich wären, so könnten wir die Funktion g in
> die Tonne koppen - denn es wäre keine Funktion.
>
> Du mußt nun zeigen:
>
> Für [mm]v_1+U=v_2+U[/mm] ist [mm]g(v_1+U)=g(v_2+U).[/mm]
>
> Beweis: sei [mm]v_1+U=v_2+U[/mm] dann ist ... [mm]\in[/mm] U.
>
> Also ist f(...)= ???
>
> ==> f(...)=f(...)
>
> ==> [mm]g(v_1+U)=g(v_2+U).[/mm]
>
> Unterwegs nutzt Du die Linearität von f. (Warum ist f
> linear?)
Also zue zeigen: Sei [mm] v_{1}+U=v_{2}+U [/mm] ==> [mm] g(v_{1}+U)=g(v_{2}+U)
[/mm]
Beweis: Sei [mm] v_{1}+U=v_{2}+U [/mm] dann [mm] v_{1}-v_{2} \in [/mm] U
Also ist [mm] f(v_{1}-v_{2})=0
[/mm]
==> [mm] f(v_{1})=f(v_{2})
[/mm]
==> [mm] g(v_{1}+U)=g(v_{2}+U) [/mm]
So müsste das doch gehen oder
naja das f linear ist lässt ja leicht nachprüfen aufgrund der 2 Kriterein, dass lässt sich leicht ausrechnen weil ja alles auf die 0 abgebildet wird...wirklich alles
>
> Weiter sollst Du zeigen, daß [mm]g\in (V/U)^{\*}[/mm] ist.
>
> Ansatz: was sind die Elemente von [mm](V/U)^{\*}?[/mm] Katzen,
> Türklinken, Zahlen, Funktionen mit bestimmten
> Eigenschaften?
>
> Wenn Du das notiert hast, steht damit der Fahrplan - er
> wird auch hier von den Definitionen vorgegeben.
> Gruß v. Angela
Naja erstmal sind V/U affine Unterräume der Form a+U mit a [mm] \in [/mm] V
alle diese Unterräume zusammengefasst bilden den Raum V/U
nun ist [mm] V/U\* [/mm] der passende Dualraum dazu. Und zwar ist dieser Dualraum der Vektorraum [mm] Hom_{K} [/mm] (V/U,K) aller Linearformen auf V/U
Des weiteren ist [mm] U^{0} \subset V/U\*
[/mm]
folglich muss ich ja bloß zeigen:
Sei v [mm] \in [/mm] V mit f \ in [mm] U^{0}
[/mm]
Da f(v) [mm] \in U^{0}
[/mm]
folgt 0=f(v)=g(v+u)
Da laut Definition eines Annulators [mm] U^{0} \subset V/U\* [/mm] ist muss folglich g(v+U) [mm] \in V/U\* [/mm] sein.
stimmt das so oder ist das falsch gedacht laut definitionen müsste es ja so gehen..
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 21.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also zue zeigen: Sei [mm]v_{1}+U=v_{2}+U[/mm] ==>
> [mm]g(v_{1}+U)=g(v_{2}+U)[/mm]
>
> Beweis: Sei [mm]v_{1}+U=v_{2}+U[/mm] dann [mm]v_{1}-v_{2} \in[/mm] U
> Also ist [mm]f(v_{1}-v_{2})=0[/mm]
> ==> [mm]f(v_{1})=f(v_{2})[/mm]
> ==> [mm]g(v_{1}+U)=g(v_{2}+U)[/mm]
>
> So müsste das doch gehen oder
Ja, prinzipiell richtig. Ich würde den letzten Schritt eher als "und daher ist g wohldefiniert" schreiben.
> naja das f linear ist lässt ja leicht nachprüfen aufgrund
Du meinst hoffentlich g, oder? f ist nach Vorraussetzung linear ...
> der 2 Kriterein, dass lässt sich leicht ausrechnen weil ja
> alles auf die 0 abgebildet wird...wirklich alles
Öhm. Nein? Das stimmt doch überhaupt nicht, wie kommst du darauf?
> Naja erstmal sind V/U affine Unterräume der Form a+U mit a
> [mm]\in[/mm] V
> alle diese Unterräume zusammengefasst bilden den Raum
> V/U
Kann man sich so vorstellen. Allerdings finde ich, dass man sich so die algebraische / VR- Struktur schlecht einprägt. Das wichtige an dem Raum ist, dass du die affinen Räume dann addierst etc pp.
> nun ist [mm]V/U\*[/mm] der passende Dualraum dazu. Und zwar ist
> dieser Dualraum der Vektorraum [mm]Hom_{K}[/mm] (V/U,K) aller
> Linearformen auf V/U
Ja.
> Des weiteren ist [mm]U^{0} \subset V/U\*[/mm]
Nein, nicht kanonisch. Das ist doch eben die Aufgabe - jedes f lässt sich zu einem g im Dualraum machen! (Das gibt im übrigen eine lineare Abbildung zwischen den Räumen ...)
> folglich muss ich ja bloß zeigen:
> Sei v [mm]\in[/mm] V mit f \ in [mm]U^{0}[/mm]
Woher kommt das v?
> Da f(v) [mm]\in U^{0}[/mm]
Nein, der Wert liegt im Körper. Wie kommst du auf das?
> folgt 0=f(v)=g(v+u)
Nein.
> Da laut Definition eines Annulators [mm]U^{0} \subset V/U\*[/mm]
Das ist nicht die Definition, die du gegeben hast.
> ist muss folglich g(v+U) [mm]\in V/U\*[/mm] sein.
Auch nicht.
> stimmt das so oder ist das falsch gedacht laut definitionen
> müsste es ja so gehen..
Laut Definitionen müsste da etwas anderes stehen.
SEcki
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So dann wäre schon mal die Hälfte des Beweises geschafft...
> > naja das f linear ist lässt ja leicht nachprüfen aufgrund
>
> Du meinst hoffentlich g, oder? f ist nach Vorraussetzung
> linear ...
>
wieso ist f nach voraussetzung linear?..ich dachte das kommt weil alles auf 0 abgebildet wird weil f ja teilmenge des annulators ist
> > der 2 Kriterein, dass lässt sich leicht ausrechnen weil ja
> > alles auf die 0 abgebildet wird...wirklich alles
>
> Öhm. Nein? Das stimmt doch überhaupt nicht, wie kommst du
> darauf?
>
> > Naja erstmal sind V/U affine Unterräume der Form a+U mit a
> > [mm]\in[/mm] V
> > alle diese Unterräume zusammengefasst bilden den Raum
> > V/U
>
> Kann man sich so vorstellen. Allerdings finde ich, dass man
> sich so die algebraische / VR- Struktur schlecht einprägt.
> Das wichtige an dem Raum ist, dass du die affinen Räume
> dann addierst etc pp.
>
> > nun ist [mm]V/U\*[/mm] der passende Dualraum dazu. Und zwar ist
> > dieser Dualraum der Vektorraum [mm]Hom_{K}[/mm] (V/U,K) aller
> > Linearformen auf V/U
>
> Ja.
>
> > Des weiteren ist [mm]U^{0} \subset V/U\*[/mm]
>
> Nein, nicht kanonisch. Das ist doch eben die Aufgabe -
> jedes f lässt sich zu einem g im Dualraum machen! (Das
> gibt im übrigen eine lineare Abbildung zwischen den
> Räumen ...)
>
ups ich meinte [mm] U^{0} \subset V\* [/mm] das stimmt aber oder?..das steht bei mir im skript...
okay der rest war ja mist muss ich denn bei dem Beweis davon ausgehen das f [mm] \in U^{0} [/mm] oder ist das ein ganz falscher Ansatzpunkt?...
weil [mm] U^{0} [/mm] ist je Teilemenge von [mm] V\* [/mm] und somit müsste man nur zeigen das f,g auch in [mm] V/U\* [/mm] sind oder?
LG Schmetterfee
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| Aufgabe |
> Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums V über K und
> sein f $ [mm] \in U^{0}. [/mm] $ Zeigen, Sie, dass die Abbildung g:V/U $ [mm] \to [/mm] $
> K durch g(v+U)=f(v) wohldefiniert ist und aus (V/U)*.
$ [mm] U^0:=\{f\in V^{*}| U\subseteq Kern f\}, [/mm] $ die Elemente aus $ [mm] U^0 [/mm] $ bilden also jedes Element aus U auf die Null ab. |
> wieso ist f nach voraussetzung linear?..ich dachte das
> kommt weil alles auf 0 abgebildet wird weil f ja teilmenge
> des annulators ist
f ist keine Teilmenge des Annullators. f ist ein Element davon.
> ups ich meinte [mm]U^{0} \subset V\*[/mm] das stimmt aber oder?..das
> steht bei mir im skript...
Ja, es würde auch stimmen, wenn es nicht im Skript stünde, denn [mm] U^0 [/mm] ist ja entsprechend definiert.
> okay der rest war ja mist muss ich denn bei dem Beweis
> davon ausgehen das f [mm]\in U^{0}[/mm] oder ist das ein ganz
> falscher Ansatzpunkt?...
Da es vorausgesetzt ist, mußt Du davon ausgehen.
Alle Eigenschaften von f, die sich hieraus ergeben, kannst Du verwenden.
> weil [mm]U^{0}[/mm] ist je Teilemenge von [mm]V\*[/mm] und somit müsste man
> nur zeigen das f,g auch in [mm]V/U\*[/mm] sind oder?
Das wird Dir bei f nicht gelingen. Von wo nach wo bildet f denn ab?
Und von wo nach wo bilden die Elemente von [mm] V/U\* [/mm] ab?
Du mußt also zeigen, daß [mm] g\in (V/U)^{\*} [/mm] ist.
Was ist dazu zu zeigen?
Ich sage es selbst:
daß g aus dem V/U in den K abbildet, und daß g eine lineare Funktion ist.
Nu mach mal.
Schreib:
zu zeigen: ...
Beweis:...
Gruß v. Angela
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> <Task>
> > Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums V über K und
> > sein f [mm]\in U^{0}.[/mm] Zeigen, Sie, dass die Abbildung g:V/U
> [mm]\to[/mm]
> > K durch g(v+U)=f(v) wohldefiniert ist und aus (V/U)*.
>
> [mm]U^0:=\{f\in V^{*}| U\subseteq Kern f\},[/mm] die Elemente aus
> [mm]U^0[/mm] bilden also jedes Element aus U auf die Null ab.
>
>
> > okay der rest war ja mist muss ich denn bei dem Beweis
> > davon ausgehen das f [mm]\in U^{0}[/mm] oder ist das ein ganz
> > falscher Ansatzpunkt?...
>
> Da es vorausgesetzt ist, mußt Du davon ausgehen.
> Alle Eigenschaften von f, die sich hieraus ergeben, kannst
> Du verwenden.
>
> > weil [mm]U^{0}[/mm] ist je Teilemenge von [mm]V\*[/mm] und somit müsste man
> > nur zeigen das f,g auch in [mm]V/U\*[/mm] sind oder?
>
> Das wird Dir bei f nicht gelingen. Von wo nach wo bildet f
> denn ab?
von U nach V oder nicht?
> Und von wo nach wo bilden die Elemente von [mm]V/U\*[/mm] ab?
>
naja von V/U*nach K*
> Du mußt also zeigen, daß [mm]g\in (V/U)^{\*}[/mm] ist.
>
> Was ist dazu zu zeigen?
>
> Ich sage es selbst:
>
> daß g aus dem V/U in den K abbildet, und daß g eine
> lineare Funktion ist.
>
muss ich dann dazu die beiden Kriterien nach weisen?
also f(a+b)=f(a)+f(b)
und [mm] \alpha f(a)=f(\alpha [/mm] a)
oder gibt es da noch ne andere Möglichket?...
> Nu mach mal.
>
> Schreib:
> zu zeigen: ...
> Beweis:...
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Do 21.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Das wird Dir bei f nicht gelingen. Von wo nach wo bildet f
> > denn ab?
> von U nach V oder nicht?
Nein, wie komsmt du darauf? In welcher Menge lebt denn f? f bildet von V nach K ab!
> > Und von wo nach wo bilden die Elemente von [mm]V/U\*[/mm] ab?
>
> naja von V/U*nach K*
Nein, nach Definition von V/U nach K.
> > daß g aus dem V/U in den K abbildet, und daß g eine
> > lineare Funktion ist.
> >
> muss ich dann dazu die beiden Kriterien nach weisen?
> also f(a+b)=f(a)+f(b)
> und [mm]\alpha f(a)=f(\alpha[/mm] a)
Was machst du mit dem f hier? Ist das das gleiche obige f - oder nur ein Platzhalter? Oder meintest du g? Nun ja - die Linearität von g musst du nachweisen.
> oder gibt es da noch ne andere Möglichket?...
Naja, es ist wirklich nicht schwer zu zeigen.
> > Nu mach mal.
Also bitte - mach mal!
SEcki
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> > > daß g aus dem V/U in den K abbildet, und daß g eine
> > > lineare Funktion ist.
> > >
> > muss ich dann dazu die beiden Kriterien nach weisen?
> > also f(a+b)=f(a)+f(b)
> > und [mm]\alpha f(a)=f(\alpha[/mm] a)
>
> Was machst du mit dem f hier? Ist das das gleiche obige f
> - oder nur ein Platzhalter? Oder meintest du g? Nun ja -
> die Linearität von g musst du nachweisen.
nein das war nur als Platzhalter gemeint
so dann müsste das doch:
h(a+b)=g(a+b)=g(a+b+U)=g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U)=g(a)+g(b)=h(a)+h(b)
[mm] \alpha [/mm] h(a)= [mm] \alpha [/mm] g(a)= [mm] \alpha [/mm] g(a+U)=g( [mm] \alpha [/mm] (a+U))= g( [mm] \alpha [/mm] a+U)= [mm] g(\alpha [/mm] a) =h [mm] (\alpha [/mm] a)
h dient bei hier nur zur verdeutlichung das die allgemeinen kriterien gelten...
ist das denn so richtig und muss ich jetzt wirklich noch zeigen, dass g: V/U nach K geht??...weil das schon per Vorrausetzung gegeben ist..ich hatte das bei Angela so verstanden, dass ich das zeigen muss wie zeig ich das denn?
LG Schmetterfee
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> > > > daß g aus dem V/U in den K abbildet, und daß g eine
> > > > lineare Funktion ist.
> > > >
> > > muss ich dann dazu die beiden Kriterien nach weisen?
> > > also f(a+b)=f(a)+f(b)
> > > und [mm]\alpha f(a)=f(\alpha[/mm] a)
> >
> > Was machst du mit dem f hier? Ist das das gleiche obige f
> > - oder nur ein Platzhalter? Oder meintest du g? Nun ja -
> > die Linearität von g musst du nachweisen.
> nein das war nur als Platzhalter gemeint
> so dann müsste das doch:
>
> h(a+b)=g(a+b)=g(a+b+U)=g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U)=g(a)+g(b)=h(a)+h(b)
>
> [mm]\alpha[/mm] h(a)= [mm]\alpha[/mm] g(a)= [mm]\alpha[/mm] g(a+U)=g( [mm]\alpha[/mm] (a+U))=
> g( [mm]\alpha[/mm] a+U)= [mm]g(\alpha[/mm] a) =h [mm](\alpha[/mm] a)
>
> h dient bei hier nur zur verdeutlichung das die allgemeinen
> kriterien gelten...
Hallo,
ich nehme jetzt mal alles weg, was Du zur Verschleierund eingebaut hast.
Ich extrahiere also das, was halbwegs brauchbar ist:
> g(a+b+U)=g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U)
Zeigen willst Du doch, daß
g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U) gilt.
Berechne das, was links steht:
g((a+U)+(b+U))=g( a+b+U)= ???
das von rechts:
g(a+U)+g(b+U)= ???
Benutze bei den ??? die Def. von g, und rechne so lange bis beidemale dasselbe dasteht.
> ist das denn so richtig und muss ich jetzt wirklich noch
> zeigen, dass g: V/U nach K geht??...weil das schon per
> Vorrausetzung gegeben ist..ich hatte das bei Angela so
> verstanden, dass ich das zeigen muss
Hat die Angela das wirklich so gesagt?
Sie wollte möglicherweise nur klarmachen, worüber man sich Gedanken machen muß, wenn man zeigen will, daß es Element im Dualraum von V/U ist.
Ein passender Satz wäre: "Nach Definition von g bildet g von V/U nach K ab."
Gruß v. Angela
wie zeig ich das denn?
>
> LG Schmetterfee
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> Hallo,
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> ich nehme jetzt mal alles weg, was Du zur Verschleierund
> eingebaut hast.
> Ich extrahiere also das, was halbwegs brauchbar ist:
>
> > g(a+b+U)=g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U)
>
> Zeigen willst Du doch, daß
>
> g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U) gilt.
>
> Berechne das, was links steht:
>
> g((a+U)+(b+U))=g( a+b+U)= ???
>
> das von rechts:
>
> g(a+U)+g(b+U)= ???
>
> Benutze bei den ??? die Def. von g, und rechne so lange bis
> beidemale dasselbe dasteht.
>
naja laut definition ist ja g(v+u)=f(v)
von daher müsste g((a+U)+(b+u))=g(a+b+U)=f(a+b)=f(a)+f(b)=g(a+U)+g(b+U)
so müsste es doch aber gehen oder?..und das müsste doch ziemlich analog für die multipliaktion gelten oder?
> > ist das denn so richtig und muss ich jetzt wirklich noch
> > zeigen, dass g: V/U nach K geht??...weil das schon per
> > Vorrausetzung gegeben ist..ich hatte das bei Angela so
> > verstanden, dass ich das zeigen muss
>
> Hat die Angela das wirklich so gesagt?
>
sorry so meinte ich das nicht hab das auch so aufgefasst wollte nur noch mal nachfragen..
LG Schmetterfee
> Sie wollte möglicherweise nur klarmachen, worüber man
> sich Gedanken machen muß, wenn man zeigen will, daß es
> Element im Dualraum von V/U ist.
>
> Ein passender Satz wäre: "Nach Definition von g bildet g
> von V/U nach K ab."
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
> wie zeig ich das denn?
> >
> > LG Schmetterfee
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> > Hallo,
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> > ich nehme jetzt mal alles weg, was Du zur Verschleierung
> > eingebaut hast.
> > Ich extrahiere also das, was halbwegs brauchbar ist:
> >
> > > g(a+b+U)=g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U)
> >
> > Zeigen willst Du doch, daß
> >
> > g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U) gilt.
> >
> > Berechne das, was links steht:
> >
> > g((a+U)+(b+U))=g( a+b+U)= ???
> >
> > das von rechts:
> >
> > g(a+U)+g(b+U)= ???
> >
> > Benutze bei den ??? die Def. von g, und rechne so lange bis
> > beidemale dasselbe dasteht.
> >
>
> naja laut definition ist ja g(v+u)=f(v)
> von daher müsste
> g((a+U)+(b+u))=g(a+b+U)=f(a+b)=f(a)+f(b)=g(a+U)+g(b+U)
Hallo,
na, geht doch!
Bei f nutzt Du die Linearität von f.
>
> so müsste es doch aber gehen oder?..und das müsste doch
> ziemlich analog für die multipliaktion gelten oder?
Ja.
>
>
> > Hat die Angela das wirklich so gesagt?
> >
> sorry so meinte ich das nicht hab das auch so aufgefasst
> wollte nur noch mal nachfragen..
Keine Sorge, ich war nicht beleidigt!
Gruß v. Angela
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> > > Hallo,
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> > > ich nehme jetzt mal alles weg, was Du zur Verschleierung
> > > eingebaut hast.
> > > Ich extrahiere also das, was halbwegs brauchbar
> ist:
> > >
> > > > g(a+b+U)=g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U)
>
> > >
> > > Zeigen willst Du doch, daß
> > >
> > > g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U) gilt.
> > >
> > > Berechne das, was links steht:
> > >
> > > g((a+U)+(b+U))=g( a+b+U)= ???
> > >
> > > das von rechts:
> > >
> > > g(a+U)+g(b+U)= ???
> > >
> > > Benutze bei den ??? die Def. von g, und rechne so lange bis
> > > beidemale dasselbe dasteht.
> > >
> >
> > naja laut definition ist ja g(v+u)=f(v)
> > von daher müsste
> > g((a+U)+(b+u))=g(a+b+U)=f(a+b)=f(a)+f(b)=g(a+U)+g(b+U)
>
> Hallo,
>
> na, geht doch!
> Bei f nutzt Du die Linearität von f.
>
> >
> > so müsste es doch aber gehen oder?..und das müsste doch
> > ziemlich analog für die multipliaktion gelten oder?
>
> Ja.
>
also müsste das doch:
[mm] g(\alpha a+U)=g(\alpha (a+U))=f(\alpha [/mm] a)= [mm] \alpha [/mm] f(a)= [mm] \alpha [/mm] g(a+U)
oder?..und das war denn doch der Beweis...wenn ich das zusammemnfassend schön aufschreib...
LG Schmetterfee
> >
> >
>
> > > Hat die Angela das wirklich so gesagt?
> > >
> > sorry so meinte ich das nicht hab das auch so aufgefasst
> > wollte nur noch mal nachfragen..
>
> Keine Sorge, ich war nicht beleidigt!
>
> Gruß v. Angela
>
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> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich nehme jetzt mal alles weg, was Du zur Verschleierung
> > > > eingebaut hast.
> > > > Ich extrahiere also das, was halbwegs brauchbar
> > ist:
> > > >
> > > > > g(a+b+U)=g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U)
> >
> > > >
> > > > Zeigen willst Du doch, daß
> > > >
> > > > g((a+U)+(b+U))=g(a+U)+g(b+U) gilt.
> > > >
> > > > Berechne das, was links steht:
> > > >
> > > > g((a+U)+(b+U))=g( a+b+U)= ???
> > > >
> > > > das von rechts:
> > > >
> > > > g(a+U)+g(b+U)= ???
> > > >
> > > > Benutze bei den ??? die Def. von g, und rechne so lange bis
> > > > beidemale dasselbe dasteht.
> > > >
> > >
> > > naja laut definition ist ja g(v+u)=f(v)
> > > von daher müsste
> > > g((a+U)+(b+u))=g(a+b+U)=f(a+b)=f(a)+f(b)=g(a+U)+g(b+U)
> >
> > Hallo,
> >
> > na, geht doch!
> > Bei f nutzt Du die Linearität von f.
> >
> > >
> > > so müsste es doch aber gehen oder?..und das müsste doch
> > > ziemlich analog für die multipliaktion gelten oder?
> >
> > Ja.
> >
>
> also müsste das doch:
> [mm]g(\alpha a+U)=g(\alpha (a+U))=f(\alpha[/mm] a)= [mm]\alpha[/mm] f(a)=
> [mm]\alpha[/mm] g(a+U)
> oder?..und das war denn doch der Beweis...wenn ich das
> zusammemnfassend schön aufschreib...
Hallo,
ganz wunderbar ist es, wenn Du am Anfang [mm] tauschst:g(\alpha (a+U))=g(\alpha [/mm] a+U)= ...
Nun so weiter, wie Du's hast.
Gruß v. Angela
> LG Schmetterfee
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> > > > Hat die Angela das wirklich so gesagt?
> > > >
> > > sorry so meinte ich das nicht hab das auch so aufgefasst
> > > wollte nur noch mal nachfragen..
> >
> > Keine Sorge, ich war nicht beleidigt!
> >
> > Gruß v. Angela
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danke für die nette Unterstützung
LG Schmetterfee
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