Dualraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 03.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei V der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR. [/mm] Zu jedem a [mm] \in \IR [/mm] sei ia [mm] \in [/mm] V* definiert durch ia(P) = P(a). Zeigen Sie, dass die Menge {ia: a [mm] \in \IR} [/mm] linear unabhängig ist, und folgern sie dass V nicht isomorph ist zu V*.
Ich wollte nun erst mal zeigen, dass jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist: a1,a2,...,an [mm] \in \IR, [/mm] paarweise verschieden.
zu zeigen: [mm] \lambda1*ia1+...+ \lambdan*ian=0
[/mm]
d.h. für ein P [mm] \in \IR[X] [/mm] ist [mm] \lambda1*P(a1)+...+ \lambdan*P(an)=0
[/mm]
Aber wie kann ich zeigen, dass das stimmt. Und zum zweiten Teil: V ist ja eine abzählbar unendliche Menge und V* ist glaub ich nicht abzählbar deswegen sind die beiden nicht isomorph... Weiß nur nicht wie man das folgern kann...
Gruß Marietta
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Di 03.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marietta!
Es ist also [mm] $V\*$ [/mm] die Menge aller Linearformen in $V$. Ferner ist [mm] $V\*\supseteq I:=\{ i_a:\IR [x]\to K\right, i_a(P)=P(a) | a\in \IR\}$. [/mm]
Dein Ansatz führt wie folgt zum Ziel:
Nehmen wir an, es gäbe eine endliche Teilmenge [mm] $a_1,a_2,...,a_n\in\IR$ [/mm] so, dass [mm] $\{i_{a_k} | 1\leq k\leq n\}$ [/mm] linear abhängig wäre. Es gäbe also Koeffizienten [mm] $\lambda [/mm] _k, [mm] 1\leq k\leq [/mm] n$ so, dass [mm] $g:\IR[x]\to [/mm] K, [mm] g(P)=\summe_{k=1}^{n}\lambda [/mm] _k [mm] i_{a_k}(P)$ [/mm] die Nullabbildung wäre. D.h., dass für alle [mm] $P\in\IR[x]$ [/mm] die Gleichung [mm] $g(P)=\summe_{k=1}^{n}\lambda [/mm] _k [mm] P(a_k)=0$ [/mm] gilt. Seien nun $k, [mm] 1\leq k\leq [/mm] n$ beliebig und [mm] $P_k\in \IR[x]$ [/mm] so gewählt, dass [mm] $P_k(a_j)=\delta_{k,j}, 1\leq i\leq [/mm] n$ gilt. Dann folgt [mm] $g(P_k)=\lambda [/mm] _k=0$ für alle [mm] $k,1\leq k\leq [/mm] n$. Damit ist bereits alles gezeigt. Die Existenz eines solchen Polynomes [mm] $P_k$ [/mm] folgt aus der Tatsache, dass durch endlich viele Stützstellen [mm] $(x_i|y_i),1\leq i\leq [/mm] n$ ein Polynom $n-1$-ten Grades eindeutig bestimmt ist [siehe Lagrangsches Interpolationspolynom].
Ich hoffe ich konnte dir helfen. Was ich gerade leider nicht zu beantworten weiß, ist die Frage, ob man die Lineare Unabhängigkeit der Gesamtmenge über die aller endlichen Teilmengen zeigen kann.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Danke für die schnelle Antwort.
Aber muss das oben nicht heißen, dass die endliche Teilmenge linear unabhängig ist?
Unser Tutor hat gesagt, dass wenn man zeigen möchte dass eine unendliche Menge linear unabhängig ist, muss man zeigen, dass jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist. Find ich auch logisch.
Habe noch eine Frage: [mm] P_{k}(a_{j})=\delta_/k.j [/mm] heißt doch dass das gleich 1 ist wenn k=j und ansonsten 0,oder? Gilt das nicht nur für eine Basis von V*?
Gruß Marietta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marietta!
> Aber muss das oben nicht heißen, dass die endliche Teilmenge linear unabhängig ist?
Es handelte sich um einen typischen Widerspruchsbeweis zum Zeigen Linearer Unabhängigkeit. Man nimmt also an, es gäbe eine [nichttriviale] Linearkombination des Nullvektors - bzw., dass die gegebene Menge linear abhängig ist - und zeigt, dass dann alle Koeffizienten Null sein müssen. Genau das habe ich hier durch geeignete Wahl der Polynome [mm] $P_k$ [/mm] getan.
> Habe noch eine Frage: $ [mm] P_{k}(a_{j})=\delta_/k.j [/mm] $ heißt doch dass das gleich 1 ist wenn k=j und ansonsten 0,oder?
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Ziel ist es, die Tatsache, dass $ [mm] g(P)=\summe_{k=1}^{n}\lambda [/mm] _k [mm] P(a_k)=0 [/mm] $ für alle Polynome [mm] $P\in \IR[x]$ [/mm] gelten muss, durch geschickte Wahl von $P$ zum Beweis von [mm] $\lambda [/mm] _k=0, [mm] 1\leq k\leq [/mm] n$ zu nutzen. Dazu konstruiere ich für jedes [mm] $k,1\leq k\leq [/mm] n$ ein Polynom [mm] $P_k$, [/mm] welches für [mm] $a_j, 1\leq j\leq [/mm] n, [mm] j\not= [/mm] k$ den Wert 0 annimmt, für [mm] $a_k$ [/mm] jedoch $1$ - ein solches Polynom gibt es immer. Mit dieser Konstruktion fällt in obigem linken Term nämlich alles bis auf [mm] $\lambda_k P(a_k)=\lambda [/mm] _k$ weg und du gelangst direkt zum gewünschten Ergebnis, nämlich [mm] $\lambda [/mm] _k=0, [mm] 1\leq k\leq [/mm] n$. Ist es nun klarer? Dieser Trick funktioniert nur für eine endliche Anzahl an Stützstellen, da ein Polynom endlichen Grad haben muss.
> Gilt das nicht nur für eine Basis von V*?
Die Frage verstehe ich nicht - was meinst du?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo Hanno!
Ich glaube ich verstehe es. Mit meiner Frage meinte ich:
Als wir Dualräume in der Vorlesung eingeführt hatten hieß es: Ist [mm] B={v_{1},...,v_{n} } [/mm] eine Basis von V, so gibt es zu jedme i [mm] \in [/mm] {1,...,n} genau eine lineare Abbildung v*_{i} : V [mm] \toK [/mm] mit [mm] v*_{i}(v_{j})= \delta_{ij}
[/mm]
und B*={v*_{1},...,v*_{n}} ist dann eine Basis von V*.
Deswegen meine Frage, weil ich dachte, dass gilt nur für Basen.
Marietta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marietta!
Jetzt ist mir klar, was du meinst. Meine Definition der [mm] $P_k$ [/mm] hat allerdings nichts mit der Definition dieser "Standardbasis" des Dualraumes zu tuen, auch wenn sie sich ähneln.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
