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Dualitaet und Matrizen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Do 16.12.2004
Autor: pekola

Hallo,

ich stehe mit dem Dualraum noch ein bisschen auf Kriegsfuss.

Wie ist den das bei linearen Abbildungen:
Wenn ich mir den Zeilenvektorraum betrachte, dann stehen doch da genau (bei m x n Matrix) n Linearformen, die abbilden vom  [mm] \IR^m [/mm] in den Skalarkoerper...

Gibt es da also Aussagen die eine lineare Abbildung in Zshg bringen mit dem Dualitaetsbegriff bzw. Linearforme....

Jeder Tipp ist hilfreich...

Danke fuer Eure Hilfe.

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Dualitaet und Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Fr 17.12.2004
Autor: Julius

Hallo pekola!

Ja, da gibt es sigar einen höchst interessanten Zusammenhang!! :-)

Es sei $L:V [mm] \to [/mm] W$ eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Diese induziert eine lineare Abbildung zwischen den beiden Dualräumen, vermöge:

[mm] $L^{\*} [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} W^{\*} & \to & V^{\*} \\[5pt] w^{\*} & \mapsto & w^{\*} \circ L.\end{array}$ [/mm]

Das war noch nichts Spektakuläres. Jetzt aber kommt es:

Es sei [mm] ${\cal A}$ [/mm] eine fest gewählte Basis von $V$ und [mm] ${\cal B}$ [/mm] eine fest gewählt Basis von $W$ sowie [mm] ${\cal A}^{\*}$ [/mm] und [mm] ${\cal B}^{\*}$ [/mm] die zugehörigen dualen Basen. Dann gilt:

[mm] $M_{{\cal B}^{\*}}^{{\cal A}^{\*}}(L^{\*}) [/mm] =  [mm] \left( M_{{\cal A}}^{{\cal B}}(L)\right)^T$, [/mm]

d.h. bei fest gewählten Basen ist die Matrixdarstellung von [mm] $L^{\*}$ [/mm] bezüglich der dualen Basen nichts anderes als die Transponierte der Matrixdarstellung von $L$!

(Man sagt in der Kategorientheorie dazu, dass es sich um einen kontravarianten Funktor handelt, aber das würde jetzt zu weit führen. ;-))

Liebe Grüße
Julius
Bezug
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