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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:47 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Was ist das duale vom dualen Problem? |
Hallo,
wir haben folgende primalen Probleme:
(Pu) v(u) = [mm] \inf_{x \in X} \phi(x,u) [/mm] (also das mit Störung)
(P) v(0) = [mm] \inf_{x \in X} \phi(x,0) [/mm] = [mm] \inf [/mm] f(x),
wobei f: X [mm] \rightarrow \overline{\IR}, \phi [/mm] : X [mm] \times [/mm] Y [mm] \rightarrow \overline{\IR} [/mm] proper und konvex und [mm] \phi(x,0) [/mm] = f(x).
Nach einer Proposition wissen wir weiter, dass [mm] v^\*(p) [/mm] = [mm] \phi^\*(0,p).
[/mm]
Die dualen Probleme sind dann folgendermaßen gegeben:
(Du) [mm] v^{\*\*}(u) [/mm] = [mm] \sup_{p \in V} \{ - \phi^{\*}(0,p)\} [/mm] = - [mm] \inf_{p \in Y} \{ \phi^{\*}(0,p) - \}
[/mm]
(D) [mm] v^{\*\*}(0) [/mm] = [mm] \sup_{p \in Y} \{ - \phi^{\*}(0,p) \} [/mm] = - [mm] \inf_{p \in Y} \{ \phi^{\*}(0,p)\}
[/mm]
Jetzt ist die Frage was das duale von dualen Problem ist (zumindest unter gewissen Voraussetzungen)? Irgendwie vermute ich mal dass das wieder das primale ist?
Das Problem ist nur, wie ich das konkret berechne *help*
Ich hab mal so angefangen:
[mm] (v^{\*\*})^{\*\*}(u) [/mm] = [mm] \sup_{p \in X} \{ - v^{\*\*}(p)\}
[/mm]
= [mm] \sup_{p} \{ - \sup_{y \in Y} \{ - v^{\*}(y)\} \}
[/mm]
hmm, ich weiß auch nicht, ist das so der richtige Ansatz? Wenn ja, wie kann ich damit weiterkommen? Was mach ich mit dem sup vom sup?
Bin über alle Tipps & Tricks sehr dankbar!!! *verzweifel*
Viele Grüße,
Riley
PS: Die konjugierten Funktionen sind ja so definiert:
[mm] f^{\*}(p) [/mm] := [mm] \sup_{x \in X} \{ - f(x) \} [/mm] und
[mm] f^{\*\*}(p) [/mm] := [mm] \sup_{p \in Y} \{ - f^{\*}(p) \}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 14.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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