Duale Abbildungen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | Herecome |
| Aufgabe | Sei $V = [mm] C^{\infty}(\IR)$ [/mm] der [mm] \IR- [/mm] Vektorraum der beliebig oft diff.baren Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Seies für $f [mm] \in [/mm] V$ die Abbildungen [mm] $\delta, \gamma,\alpha [/mm] : V [mm] \to \IR$ [/mm] gegeben durch
[mm] $\delta(f) [/mm] = f(0)$ , $ [mm] \gamma(f) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}$ [/mm] , [mm] $\alpha(f) [/mm] = [mm] f^{(1)}(0)$ [/mm] (erste Ableitung)
a) Zeigen Sie, dass [mm] \delta, \gamma [/mm] und [mm] \alpha [/mm] Elemente von [mm] V^{\*} [/mm] sind.
b) Die Ableitung [mm] $\bruch{d}{dx} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V : f [mm] \mapsto [/mm] f´$ ist eine lineare Abbildung. [mm] $(\bruch{d}{dx})^{\*}$ [/mm] ist also eine (lineare) Abbildung von [mm] V^{\*} [/mm] nach [mm] V^{\*}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $(\bruch{d}{dx})^{\*}(\delta)=\alpha$ [/mm] ist.
c) Zeigen Sie, dass [mm] \delta, \gamma [/mm] und [mm] \alpha [/mm] linear unabhängig sind. |
zu a)
es ist zu Zeigen, dass die Abbildungen linear sind.
für [mm] $\delta(f) [/mm] = f(0)$
[mm] $\delta(a*f+b*g) [/mm] = (a*f+b*g)(0) = a*f(0) + b*g(0) = [mm] a*\delta(f) [/mm] + [mm] b*\delta(g)$
[/mm]
für [mm] \gamma(f)=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] $\gamma(a*f+b*g)=\integral_{0}^{1}{(a*f+b*g)(x) dx}=\integral_{0}^{1}{a*f(x) dx}+\integral_{0}^{1}{b*g(x) dx}=a*\integral_{0}^{1}{f(x) dx}+b*\integral_{0}^{1}{g(x) dx}=a*\gamma(f)+b*\gamma(g)$
[/mm]
für [mm] \alpha(f)= $f^{(1)}(0)$
[/mm]
[mm] $\alpha(a*f+b*g)=(a*f+b*g)^{(1)}(0)=a*f^{(1)}(0)+b*g^{(1)}(0)=a*\alpha(f)+b*\alpha(g)$
[/mm]
zu b) hab ich gedacht, dass es logisch sei, dass die ableitung von f nunmal f´ ist. Wäre ein einzeiler geworden, aber ich hab nicht die duale Ableitung beachtet... wie hab ich das zu machen?
zu c) hatte ich mir überlegt, dass ich skalare vor die abbildungen setze, und dann zeige, dass die skalare alle gleich 0 sein müssen, damit wäre die unabhängigkeit gezeigt, aber gilt das für abbildungen genauso wie für vektoren?
danke für die Hilfe
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 09.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V = C^{\infty}(\IR)[/mm] der [mm]\IR-[/mm] Vektorraum der beliebig
> oft diff.baren Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR.[/mm] Seies für [mm]f \in V[/mm]
> die Abbildungen [mm]\delta, \gamma,\alpha : V \to \IR[/mm] gegeben
> durch
> [mm]\delta(f) = f(0)[/mm] , [mm]\gamma(f) = \integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> , [mm]\alpha(f) = f^{(1)}(0)[/mm] (erste Ableitung)
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\delta, \gamma[/mm] und [mm]\alpha[/mm] Elemente von
> [mm]V^{\*}[/mm] sind.
> b) Die Ableitung [mm]\bruch{d}{dx} : V \to V : f \mapsto f´[/mm]
> ist eine lineare Abbildung. [mm](\bruch{d}{dx})^{\*}[/mm] ist also
> eine (lineare) Abbildung von [mm]V^{\*}[/mm] nach [mm]V^{\*}.[/mm] Zeigen
> Sie, dass [mm](\bruch{d}{dx})^{\*}(\delta)=\alpha[/mm] ist.
> c) Zeigen Sie, dass [mm]\delta, \gamma[/mm] und [mm]\alpha[/mm] linear
> unabhängig sind.
> zu a)
> es ist zu Zeigen, dass die Abbildungen linear sind.
> für [mm]\delta(f) = f(0)[/mm]
> [mm]\delta(a*f+b*g) = (a*f+b*g)(0) = a*f(0) + b*g(0) = a*\delta(f) + b*\delta(g)[/mm]
>
> für [mm]\gamma(f)=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\gamma(a*f+b*g)=\integral_{0}^{1}{(a*f+b*g)(x) dx}=\integral_{0}^{1}{a*f(x) dx}+\integral_{0}^{1}{b*g(x) dx}=a*\integral_{0}^{1}{f(x) dx}+b*\integral_{0}^{1}{g(x) dx}=a*\gamma(f)+b*\gamma(g)[/mm]
>
> für [mm]\alpha(f)=[/mm] [mm]f^{(1)}(0)[/mm]
>
> [mm]\alpha(a*f+b*g)=(a*f+b*g)^{(1)}(0)=a*f^{(1)}(0)+b*g^{(1)}(0)=a*\alpha(f)+b*\alpha(g)[/mm]
>
Alles richtig
> zu b) hab ich gedacht, dass es logisch sei, dass die
> ableitung von f nunmal f´ ist. Wäre ein einzeiler geworden,
> aber ich hab nicht die duale Ableitung beachtet... wie hab
> ich das zu machen?
Allgemein: ist T:V [mm] \to [/mm] V linear, so ist T*: V* [mm] \to [/mm] V* gegeben durch
[mm] (T^{\*}\beta)(f) [/mm] = [mm] \beta(Tf) [/mm] für f [mm] \in [/mm] V und [mm] \beta \in [/mm] V*
Sei T = [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] und [mm] \beta [/mm] = [mm] \delta.
[/mm]
Du mußt zeigen:
[mm] \delta(Tf) [/mm] = [mm] \alpha(f) [/mm] für jedes f [mm] \in [/mm] V
Das kriegst Du hin !
>
> zu c) hatte ich mir überlegt, dass ich skalare vor die
> abbildungen setze, und dann zeige, dass die skalare alle
> gleich 0 sein müssen, damit wäre die unabhängigkeit
> gezeigt, aber gilt das für abbildungen genauso wie für
> vektoren?
Bez. wir mit Hom(V) die Menge aller linearen Abb. von V in sich, so sit Dir sicher bekannt, dass Hom(V) ein Vektorraum ist.
FRED
>
> danke für die Hilfe
> Lg
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