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| Aufgabe | Geben Sie zu den Vektoren
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}, x_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, x_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1} \in \IR^3 [/mm] die Linearformen [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] mit "Kroneckersymbol" an, d.h. bestimmen Sie die Dualbasis. |
Hallo, wir haben letzte Woche in der Vorlesung das Kroneckersymbol erwähnt bekommen_aber wozu man das braucht, konnte ich auch keiner Literatur entnehmen. Kann mir jemand sagen, was der Unterschied zwischen V und V* (also Dualraum zu V) ist und was das Ganze mit dem Kroneckersymbol auf sich hat und wie ich diese Aufgabe angehen soll? Das wäre sehr hilfreich...
Danke
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> Geben Sie zu den Vektoren
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}, x_2[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, x_3[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1} \in \IR^3[/mm] die Linearformen [mm]f_1, f_2, f_3[/mm]
> mit "Kroneckersymbol" an, d.h. bestimmen Sie die
> Dualbasis.
> Hallo, wir haben letzte Woche in der Vorlesung das
> Kroneckersymbol erwähnt bekommen_aber wozu man das braucht,
> konnte ich auch keiner Literatur entnehmen.
Hallo,
man könnte drauf verzichten, aber manches läßt sich mit dem Symbol sehr übersichtlich darstellen.
[mm] \delta_i_k [/mm] bedeutet: [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } i\not=k \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } i=k \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
> Kann mir jemand
> sagen, was der Unterschied zwischen V und V* (also Dualraum
> zu V)
Der Unterschied ist zunächst einmal riesig: wenn Du einen K-Vektorraum V hast, dann enthält [mm] V^{\*} [/mm] sämtliche linearen Abbildungen von V nach K.
(Nicht ganz nebenbei bemerkt: solche Fragen solltest Du immer zunächst anhand der Definitionen versuchen, Dir selbst zu beantworten.
Vergleiche jetzt die Dir vorliegende Definition mit dem, was ich gesagt habe und schau, ob es zusammenpaßt.)
Man stellt fest, daß V und [mm] V^{\*} [/mm] diesselbe Dimension haben.
Dann lernt man etwas über die duale Basis:
Wenn [mm] B=(b_1, ...,b_n) [/mm] eine Basis von V ist,
so bilden folgende Abbildungen [mm] (f_1, ...,f_n) [/mm] eine Basis von [mm] V^{\*}:
[/mm]
[mm] f_1(b_1):=1
[/mm]
[mm] f_1(b_2):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_n(b_n):=0
[/mm]
[mm] f_2(b_1):=0
[/mm]
[mm] f_2(b_2):=1
[/mm]
[mm] f_2(b_3):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_n(b_n):=0
[/mm]
[mm] f_3(b_1):=0
[/mm]
[mm] f_3(b_2):=0
[/mm]
[mm] f_3(b_3):=1
[/mm]
[mm] f_3(b_4):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_n(b_n):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_n(b_1):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_n(b_{n-1}):=0
[/mm]
[mm] f_n(b_n):=1
[/mm]
Das ist das, was sich im Zusammenhang mit der dualen Basis hinter dem Kroneckersymbol verbirgt.
Die Aufgabe sollte Dir nun keine große Schwierigkeit mehr bereiten.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:49 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Fawkes |
Hallo,
da prinzip des kroneckersymbol hab ich wietestgehend verstanden jedoch hab ich porbleme bei umdenken auf die aufgabe wo mir einfach ein lösungsansatz fehlt. Über ratschläge würde ich mich freuen. mfg fawkes
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> da prinzip des kroneckersymbol hab ich wietestgehend
> verstanden jedoch hab ich porbleme bei umdenken auf die
> aufgabe wo mir einfach ein lösungsansatz fehlt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wegen des fehlenden Lösungsansatzes müßtest Du etwas konkreter werden. Wo liegt das Problem?
Was hast Du bisher getan?
Ich habe oben doch serklärt, was die duale Basis ist.
Wenn Dir klargeworden ist, daß [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist, brauchst Du doch nur noch die Abbildungen [mm] f_1, f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] zu definieren. Was sich hinter dem Kroneckersymbol im Zusammenhang mit der dualen Basis verbirgt, habe ich doch ganz ausführlich aufgeschrieben.
Insofern ist der Lösungsansatz längst geliefert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 15.05.2008 | | Autor: | Fawkes |
hallo,
soweit hab ich das alles verstanden jedoch weiß ich nicht wie ich die die linearformen f1,f2,f3 definieren muss und wie man das dann genau aufschreibt. könnte mir da jemand lösungsansätze zu schreiben? danke schon mal für eure hilfe. Mfg fawkes
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Do 15.05.2008 | | Autor: | fred97 |
wie sehen denn Linearformen auf dem [mm] R^3 [/mm] aus (allg. Darstellung)?
FRED
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| Aufgabe | | Meinst du damit die kanonische Basis von [mm] \IR^3 [/mm] ? Ich habe versucht, durch dieses Kronecker-Delta eine Dualbasis zu errechnen_aber ich bekomme da eigentlich immer die kanonische Basis zu [mm] \IR^3 [/mm] raus_das kann ja ohnehin nicht stimmen, weil ich ja eigentlich Funktionen erhalten muss, da es sich bei der Dualbasis um sämtliche Abbildungen handelt. Was mache ich da falsch? |
Danke...
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> Meinst du damit die kanonische Basis von [mm]\IR^3[/mm] ?
Hallo,
nein, es besteht doch überhaupt kein Zwang, die kanonische Basis zu nehmen.
Konkret für diese Aufgabe wäre das sogar ziemlich dumm, denn es ist die duale Basis zur Basis [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] gesucht.
> Ich habe
> versucht, durch dieses Kronecker-Delta eine Dualbasis zu
> errechnen_
Wenn Du uns an Deinen Versuchen ein wenig teilnehmen ließest, könnte man Dir vielleicht helfen.
So weiß ich überhaupt nicht, was Du getan hast, und folglich habe ich keine Ahnung, wo das Problem liegt.
> aber ich bekomme da eigentlich immer die
> kanonische Basis zu [mm]\IR^3[/mm] raus_das kann ja ohnehin nicht
> stimmen, weil ich ja eigentlich Funktionen erhalten muss,
> da es sich bei der Dualbasis um sämtliche Abbildungen
> handelt.
Ja.
> Was mache ich da falsch?
S.o.: wir wissen ja nicht, was Du machst.
Ich hatte Dir ja im Eingangspost diese Knoneckergeschichte recht genau aufgeschreiben und für einen n-dimensionalen VR mit der Basis [mm] (b_1, ...b_n) [/mm] die n Linearformen [mm] f_i [/mm] , die die duale Basis bilden, ausführlichst definiert. Da muß man doch nur noch x=b und n=3 setzen und einsetzen...
Ist Dir eigentlich klar, daß lineare Abbildungen, also auch Linearformen, durch die Angabe der Werte auf eine Basis eindeutig definiert sind? Dieses Wissen braucht man natürlich.
Gruß v. Angela
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