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| Aufgabe | Man Berechne das Integral [mm] \int_{}^{}\,\int_{}^{}\,\int_{B}^{}\, 1\ dx dy dz [/mm]
B wird begrenzt von den Paraboloiden [mm] x=y^2+z^2[/mm] und [mm] x=2-y^2-z^2 [/mm] [mm] (I = \pi) [/mm] |
Hallo!
Also Wie man die Bereiche Aufstellt ist mir eigentlich klar.
Ich habe mir eine Skizze gemacht und dabei die Funktionen mit den Koordinatenebenen geschnitten und B in 2 Bereiche aufgeteilt (Skizzen siehe Bilder [Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]) somit komme ich auf:
Bereich 1:
[mm] 0 \le x \le 1[/mm]
[mm] 0 \le y \le \wurzel{x}[/mm]
[mm] 0 \le z \le \wurzel{x-y^2}[/mm]
und
Bereich 2:
[mm] 1 \le x \le 2[/mm]
[mm] 0 \le y \le \wurzel{2-x}[/mm]
[mm] 0 \le z \le \wurzel{2-y^2-x}[/mm]
So weit so gut. Nur wenn es dann ans integrieren geht stehe ich an. Das integral nach [mm] z [/mm] geht ja noch recht einfach. Aber bei dem Integral von Bereich 1 nach [mm] y [/mm] skomme ich schon nicht weiter.
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{x}}{\wurzel{x-y^2} dy}[/mm]
wie soll man das bitte integrieren?
Ich hab es mal ins Matheprogramm eingegeben, da kommt irgendwas mit Brüchen und wurzeln und Arcuskosinus heraus. Und dann noch die Grenzen einsetzen und nach x integrieren... Für mich ein Ding der Unmöglichkeit. :-(
Ich habe auch überlegt das ganze in Polarkoordinaten zu Transformieren aber irgendwie komme ich damit auch nicht recht weiter. Vor allem mit den grenzen denn wie schreibe ich beispielsweise
[mm] \wurzel{x-y^2}[/mm] als Polarkoordinaten (oder Zylinderkoordinaten?)
Bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. bitte Graphiken kleiner, so dass sie in normale Fenster passen, geogebra gerade lässt sich mit dem xport beliebig berklainern.
2. Zylinderkoordinaten mit x=x, [mm] y^2+z^2=r^2 [/mm] sind hier die richtige Idee-
Gruss leduart
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Entschuldigung wegen der Bilder, ich habe erst bemerkt, dass sie so riesig sind, als ich sie schon hochgeladen hatte. :-/
Also irgendwie verstehe ich das mit den Zylinderkoordinaten nicht ganz. Wie kann ich z.B [mm] \wurzel{x-y^2}[/mm] auf Zylinderkoordinaten bringen wenn [mm] y^2 + z^2 =r^2[/mm] oder [mm] \wurzel{z-y^2-x}[/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht stellst du dir mal die x- Achse nach oben vor. dann steht auf der y-z Ebene ein Rotationsparaboloid , in der Höhe x=1 wrd es von einem gleichen Rotationsparaboloid in umgekehrter Richtung zugedeckelt. die beiden Hälften haben dasselbe Volumen, also kannst du auch erstmal nur die untere Hälfte rechnen. Schnitte senkrecht zur x Achse sind kreise mit dem Radius [mm] \wurzel{x} [/mm] also der fläche [mm] \pi*x [/mm] also hast du Kreisscheiben der Dicke dx und der Fläche [mm] \pi*x [/mm] aufzuaddieren bzw zu integrieren.
Wenn du also zuerst in y und z Richtung integrierst bzw in r und [mm] \phi [/mm] richtung solltst du [mm] \pi*x [/mm] rauskriegen.
du hast
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\wurzelx}{rdrd\phi*dx}}}
[/mm]
mit den Zylinderkoordinaten x=x, [mm] y=r*cos\phi z=r*sin\phi
[/mm]
wenn du direkt in y,z,x integrieren willst brauchst du beim integrieren in den ersten 2 Richtungen die Substitution [mm] y=\wurzel{x}*sint
[/mm]
Gruss leduart
Gruss leduart
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Danke für die Ausführliche Antwort!
Aber irgendwie ist mir das Ganze noch immer nicht ganz klar. Denn was mache ich mit meinen Grenzen? Hm... Weil wenn ich einfach das Integral
[mm] \integral_{x=0}^{1}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{\wurzel{x}}{1 rdxd\phi\cdot{}dr}}} [/mm]
berechne komme ich am Ende zwar aufs richtige Ergebnis ([mm] V= \bruch{\pi}{2} [/mm] für den halben Bereich), jedoch verstehe ich nicht ganz warum. Denn was ist mit den "alten" Grenzen passiert? Wie ist aus [mm] 0\le y \le\wurzel{x}[/mm] plötzlich [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le\wurzel{x} [/mm] geworden? Und was ist mit [mm] 0\le z \le \wurzel{x-y^2}[/mm] und mit [mm] 0\le z \le\wurzel{2-y^2-x}[/mm] passiert?
Beziehungsweise wie kann ich das Ganze allgemein betrachtet anwenden? Denn in diesem Beispiel verstehe ich deine logische Überlegung mit den Kreisscheiben etc. Aber was mache ich wenn ich irgendeinen anderen Bereich integrieren soll?
Bzw. was ist mit
[mm] y=r\cdot{}cos\phi [/mm]
[mm] z=r\cdot{}sin\phi [/mm]
Bin verwirrt...
?
Schon mal danke für die Hilfe 
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Hallo Strawberry1,
> Danke für die Ausführliche Antwort!
>
> Aber irgendwie ist mir das Ganze noch immer nicht ganz
> klar. Denn was mache ich mit meinen Grenzen? Hm... Weil
> wenn ich einfach das Integral
>
> [mm]\integral_{x=0}^{1}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{\wurzel{x}}{1 rdxd\phi\cdot{}dr}}}[/mm]
>
Die Grenzen für r stimmen nicht.
Setzt man für [mm]y^{2}+z^{2}=r^{2}[/mm], so ist einerseits
[mm]x=r^{2} \rightarrow r=\wurzel{x}[/mm]
und andererseits
[mm]x=2-r^{2} \rightarrow r=\wurzel{2-x}[/mm]
Demnach lautet das zu berechnende Integral:
[mm]\integral_{x=0}^{1}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{r=\blue{\wurzel{x}}}^{\blue{\wurzel{2-x}}}{1 rdxd\phi\cdot{}dr}}}[/mm]
> berechne komme ich am Ende zwar aufs richtige Ergebnis ([mm] V= \bruch{\pi}{2}[/mm]
> für den halben Bereich), jedoch verstehe ich nicht ganz
> warum. Denn was ist mit den "alten" Grenzen passiert? Wie
> ist aus [mm]0\le y \le\wurzel{x}[/mm] plötzlich [mm]0\le[/mm] r
> [mm]\le\wurzel{x}[/mm] geworden? Und was ist mit [mm]0\le z \le \wurzel{x-y^2}[/mm]
> und mit [mm]0\le z \le\wurzel{2-y^2-x}[/mm] passiert?
>
> Beziehungsweise wie kann ich das Ganze allgemein betrachtet
> anwenden? Denn in diesem Beispiel verstehe ich deine
> logische Überlegung mit den Kreisscheiben etc. Aber was
> mache ich wenn ich irgendeinen anderen Bereich integrieren
> soll?
> Bzw. was ist mit
> [mm]y=r\cdot{}cos\phi[/mm]
> [mm]z=r\cdot{}sin\phi[/mm]
>
> Bin verwirrt...
> ?
>
> Schon mal danke für die Hilfe
>
Gruss
MathePower
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Wie Bitte?
Jetzt kenne ich mich überhaupt nicht mehr aus... Der Radius der Kreisscheiben ist ja genau [mm] \wurzel{x} [/mm] Aus logischer Überlegung heraus?!
Und wie kommst du bitte auf [mm] x=r^2 [/mm]
Und vor allem: Wenn ich es mit diesen Grenzen Integriere kommt ein falsches Ergebnis heraus (wenn man vergleicht mit der allgemeinen Formel für das Volumen eines Rotationsparaboloids...) :-/
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Hallo Strawberrry1,
> Wie Bitte?
> Jetzt kenne ich mich überhaupt nicht mehr aus... Der
> Radius der Kreisscheiben ist ja genau [mm]\wurzel{x}[/mm] Aus
> logischer Überlegung heraus?!
> Und wie kommst du bitte auf [mm]x=r^2[/mm]
>
> Und vor allem: Wenn ich es mit diesen Grenzen Integriere
> kommt ein falsches Ergebnis heraus (wenn man vergleicht mit
> der allgemeinen Formel für das Volumen eines
> Rotationsparaboloids...) :-/
>
Mit diesem korrigierten Dreifachintegral kommt genau [mm]\pi[/mm] heraus.
Gruss
MathePower
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Genau, es kommt [mm] \pi [/mm] heraus.... Jedoch sollte [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] herauskommen...
Die allgemeine Formel lautet nämlich:
[mm] V= bruch{\pi}{2} \cdot{} r^2 \cdot{} h [/mm]
Wobei [mm] r[/mm] der Radius des Schnittkreises, und [mm]h [/mm] die Höhe ist. In meinem Fall wäre [mm]r[/mm] also 1 und [mm]h[/mm] wäre auch 1....
oder?
Also mir erscheint das schon irgendwie "logisch", dass ich sage:
[mm] 0\le r \le\wurzel{x} [/mm]
Irgendwie bin ich jetzt noch verwirrter wie vorher. Gibt es denn nicht irgendwie eine Methodik die man immer anwenden kann wenn man so ein Integral in Polarkoordinaten rechnen will?
Gruß, Strawberry1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht bin ich an der verwirrung schuld. ich habe dir nur das Integral für das untere paraboloid ingeschrieben, und gesagt, das vol des oberen (Deckels) sei gleich gross du hast also 2 paraboloide der Höhe 1. oder du integrierst wie mathepoer es mach über das ganze Gebiet.
mit [mm] y=rcos\phi [/mm] und [mm] z=rsin\ph [/mm] ist [mm] y^2+x^2=r^2*(cos^2\phi +sin^2\phi==r^2*1 [/mm] also [mm] x=r^2 [/mm] bzw [mm] x=2-r^2
[/mm]
Das ist genau die Methode mit der man in polarkoordinaten rechnet.
vielleicht machst du es erstmal indem du nur [mm] \integral{\integral{dxdy}} [/mm] für das Gebiet [mm] x^2+y^2<4 [/mm] ausrechnest a) mit kartesischen b) in Polarkoordinaten
Gruss leduart
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Ahhh.... OK! Jetzt habe ich es verstanden... Ich habe irgendwie den Zusammenhang nicht gesehen: [mm] y^2+x^2=r^2\cdot{}(cos^2\phi +sin^2\phi) [/mm]
Jetzt leuchtet es mir ein.
Und wenn ich jetzt dein Beispiel nehme mit:
[mm] \integral{\integral{dxdy}} [/mm] im Bereich [mm] x^2+y^2<4 [/mm]
dann hätte ich sozusagen:
[mm] x= r \cdot \\cos \phi[/mm]
[mm] y= r \cdot \\sin \phi[/mm]
und damit
[mm] r^2<4 [/mm]
also
[mm] r<2 [/mm]
Also ergibt sich das Integral zu:
[mm] \integral_{\phi=0}^{2\pi}\integral_{r=0}^{2} 1\cdot \ r\cdot dr d\phi[/mm]
Ich glaube jetzt hab ich es gecheckt.
Nochmals danke für die ausführliche Hilfe!
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