Dreieckszerlegung einer Matrix < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu lösen sei das lineare Gleichungssystem Ax = b in [mm] \IR^{N+1} [/mm] mit der Matrix
[mm] \pmat{ R & v \\ u^T & 0}
[/mm]
wobei R [mm] \in \IR^{N x N} [/mm] eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist und u,v [mm] \in \IR^N [/mm] beliebig.
a) Geben Sie die Dreieckszerlegung der Matrix A an.
b) Zeigen Sie: A ist genau dann nicht singulär, wenn [mm] u^T R^{-1} [/mm] v [mm] \not= [/mm] 0.
c) Formulieren Sie einen effizienten Algorithmus zur Lösung des obigen linearen Gleichhungssystems. Wie hoch ist der Aufwand? |
Hallo,
hat jemand Ansätze für mich für die einzelnen Teilaufgaben?
Bei a) könnte man ja ganz stumpf den Algorithmus benutzen, scheint mir aber eher nicht effizient zu sein.
Bei b) weiß ich gar nicht, wie ich anfangen soll.
c) kann man ja dann bestimmt mit Teil a) lösen?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zu lösen sei das lineare Gleichungssystem Ax = b in
> [mm]\IR^{N+1}[/mm] mit der Matrix
>
> [mm]\pmat{ R & v \\ u^T & 0}[/mm]
>
> wobei R [mm]\in \IR^{N x N}[/mm] eine invertierbare obere
> Dreiecksmatrix ist und u,v [mm]\in \IR^N[/mm] beliebig.
>
> a) Geben Sie die Dreieckszerlegung der Matrix A an.
>
> b) Zeigen Sie: A ist genau dann nicht singulär, wenn [mm]u^T R^{-1}[/mm]
> v [mm]\not=[/mm] 0.
>
> c) Formulieren Sie einen effizienten Algorithmus zur
> Lösung des obigen linearen Gleichhungssystems. Wie hoch
> ist der Aufwand?
> Hallo,
>
> hat jemand Ansätze für mich für die einzelnen
> Teilaufgaben?
> Bei a) könnte man ja ganz stumpf den Algorithmus
> benutzen, scheint mir aber eher nicht effizient zu sein.
Ich denke, dass Du um den Algorithmus nicht herum kommst.
> Bei b) weiß ich gar nicht, wie ich anfangen soll.
Ich bezeichne die Elemente des $ [mm] \IR^{N+1} [/mm] $ mit [mm] \vektor{x \\ t}, [/mm] wobei $x [mm] \in \IR^N$ [/mm] und $t [mm] \in \IR$ [/mm] ist.
Dann haben wir:
$A [mm] \vektor{x \\ t}=\vektor{Rx+tv \\ u^Tx}$
[/mm]
Nun sei A regulär. Annahme: $ [mm] u^T R^{-1} [/mm] v = 0$
Setze $x:= [mm] R^{-1} [/mm] v$ und zeige:
$A [mm] \vektor{x \\ -1}=0$
[/mm]
Dies liefert einen Widerspruch.
Die Umkehrung versuche nun mal selbst.
FRED
> c) kann man ja dann bestimmt mit Teil a) lösen?
Ja
>
> Grüsse
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Hallo,
du sollst dein A als L/R Zerlegung darstellen: [Dateianhang nicht öffentlich]
zu b) A ist eine Produkt der Matrizen L und R und genau dann invertierrbar, wenn L und R invertierbar sind. L ist invertierbar(nichtsingulaär). Da R invertierbar ist sind die ersten n-1 Spalten von R linear unabhängig, wir müssen nun die letzte Spalte nicht durch die ersten n-1 Spalten darstellen können dies gilt wenn u`R^(-1)v ungleich =0
c) eine LR Zerlegung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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