Dreiecksungleichung Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:18 Sa 23.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich weis folgendes:
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x)+g(x) dx}| \le \integral_{a}^{b}{|f(x)+g(x)| dx}
[/mm]
und auch |f(x)+g(x)| [mm] \le [/mm] |f(x)| + |g(x)|
aber gilt auch die ungleichung
[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)+g(x)| dx} \le \integral_{a}^{b}{|f(x)|+|g(x)| dx}
[/mm]
?
bzw. wie muss ich da rangehen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Sa 23.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Gemeinde!
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> Ich weis folgendes:
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> [mm]|\integral_{a}^{b}{f(x)+g(x) dx}| \le \integral_{a}^{b}{|f(x)+g(x)| dx}[/mm]
>
> und auch |f(x)+g(x)| [mm]\le[/mm] |f(x)| + |g(x)|
>
> aber gilt auch die ungleichung
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)+g(x)| dx} \le \integral_{a}^{b}{|f(x)|+|g(x)| dx}[/mm]
>
> ?
Klar. Das nennt man die "Monotonie des Integrals":
aus [mm] f_1 \le f_2 [/mm] auf [a,b] folgt [mm] \integral_{a}^{b}{f_1(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{f_2(x) dx}.
[/mm]
>
> bzw. wie muss ich da rangehen...
Beweisen kannst Du das so, falls [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] beide Riemannintegrierbar sind:
Ist Z eine Zerlegung von [a,b], so ist
[mm] U(f_1,Z) \le U(f_2,Z),
[/mm]
wobei [mm] U(f_i,Z) [/mm] die Untersumme von [mm] f_i [/mm] bzgl. Z ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Sa 23.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
Super! Danke Dir Fred!
Habs jetzt nochmal im Skriptum nachgeschlagen, stand eh drinnen... muss ich wohl "überlesen" haben :)
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