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Hallo,
Ich habe eine Frage zu folgender Dreiecksungleichung:
|a-b| [mm] \ge [/mm] ||a|-|b|| [mm] \ge [/mm] |a|-|b|
Nehmen wir beispielsweise an, dass ich folgende Funktion habe: f(x)=|x-5| für alle x [mm] \in [/mm] [-5, 3]
Könnte ich die Dreiecksungleichung dann wie folgt anwenden?
|x-5| [mm] \ge [/mm] ||x-5|-|0|| [mm] \ge \underbrace{|x-5|}_{\ge 2} \ge [/mm] 2
Somit gilt: 2 [mm] \le [/mm] |f(x)| für alle x [mm] \in [/mm] [-5, 3]
Wäre das korrekt?
Ich hab das ganze per Plot mal geprüft. Es stimmt zwar, aber vielleicht hatte ich ja einfach nur Glück mit dem Beispiel und mein Beispiel hier ist trozdem falsch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Sa 10.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Das musst Du etwas anders machen. Am Ende setzt Du einen Endpunkt ein. Das muss aber begründet werden. dadurch wird das so aufwendig, dass andere Wege nebenbei schon abfallen.
Die Argumentation läuft dann so:
Im Intervall [-5;3] ist f(x) = x-5 immer kleiner als Null. Für die Betragsfunktion ist daher keine Fallunterscheidung nötig. Die Darstellung ohne Betragsfunktion muss daher entweder f(x) = x-5 oder f(x) = -x+5 lauten. Daher kann man die Funktion in diesem Intervall als Gerade zeichnen, sie ist also monoton steigend oder fallend. Einer der beiden Endpunkte muss daher den kleinsten Funktionswert annehmen. Nach der Dreiecksungleichung gilt: $|-5-5| [mm] \ge [/mm] |5|-|5| = 0$ und
$|3-5| [mm] \ge [/mm] ||3|-|5|| [mm] \ge [/mm] |3|-|5| = -2$
Es ist natürlich günstiger, direkt |-5-5| und |3-5| zu berechnen.
Noch schneller kommt man mit der Feststellung f(x)=-x+5 und damit f(-5) = 10 und f(3) = 2 zum Ziel.
Der Knackpunkt ist die Argumentation, dass keine Fallunterscheidung nötig ist. Wenn der Fall eintritt, dann kann es passieren, dass Du den tiefsten Punkt nicht erwischst, wenn Du nur die Endpunkte betrachtest.
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Hallo chrisno,
Danke für deine Antwort.
Im Hintergrund geht es mir darum, dass wir die Dreiecksungleichung(en) dazu benutzen, um Betragsfunktionen nach oben und nach unten abzuschätzen. Großargtig argumentieren wird bei uns dafür nicht verlangt.
Habe ich das also richtig verstanden, dass mein Beispiel aus dem Startpost korrekt ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Sa 10.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich würde es nicht akzeptieren. Die Abschätzung gilt nur für x = 3. Alles Weitere fehlt. Daher wird so keine Aussage über die anderen Punkte aus dem Intervall gemacht.
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Aber ich wende die Dreiecksungleichung doch korrekt an, oder nicht?
Die Dreiecksungleichung lautet:
|a-b| $ [mm] \ge [/mm] $ ||a|-|b|| $ [mm] \ge [/mm] $ |a|-|b|
Jetzt habe ich die Betragsfunktion f(x)=|x-5| welche für alle x [mm] \in [/mm] [-5, 3] definiert ist.
Anmerkung: f(x)=|x-5|=|x-5-0|
Auf meine Betragsfunktion wende ich nun die o.g. Dreieicksungleichung an:
Ich mache es Schritt für Schritt. Ich definiere also erst mein a und dann mein b aus der Dreiecksungleichung und setze es dann in die Dreiecksungleichung ein:
a:=x-5
b:=0
Somit gilt:
|x-5-0| $ [mm] \ge [/mm] $ ||x-5|-|0|| $ [mm] \ge [/mm] $ |x-5|-|0| [mm] \ge [/mm] |x-5|
Bis hierhin muss es doch auf jeden Fall richtig sein?!
Da meine Betragsfunktion ja nur für alle x [mm] \in [/mm] [-5, 3] definiert ist, kann ich den letzten Ausdruck der Dreiecksungleichung abschätzen. Also nochmal:
|x-5-0| $ [mm] \ge [/mm] $ ||x-5|-|0|| $ [mm] \ge [/mm] $ |x-5|-|0| [mm] \ge \underbrace{|x-5|}_{\ge 2} \ge [/mm] 2
Das müsste doch auch stimmen?!
Ich hab mir nun auch einige andere ähnliche Beispiele ausgedacht und das nach diesem Muster durchgearbeitet und meine Abschätzung am Plot geprüft und jedes mal war meine Abschätzung korrekt.
Ich sehe nicht, was daran falsch sein soll.
Hast du vielleicht ein Gegenbeispiel parat, wo man, wenn man dieses Muster zur Abschätzung anwendet, eine falsche Abschätzung erhählt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 So 11.11.2012 | | Autor: | chrisno |
> Aber ich wende die Dreiecksungleichung doch korrekt an,
> oder nicht?
Ja.
>
> Die Dreiecksungleichung lautet:
>
> |a-b| [mm]\ge[/mm] ||a|-|b|| [mm]\ge[/mm] |a|-|b|
>
>
> Jetzt habe ich die Betragsfunktion f(x)=|x-5| welche für
> alle x [mm]\in[/mm] [-5, 3] definiert ist.
>
> Anmerkung: f(x)=|x-5|=|x-5-0|
>
> Auf meine Betragsfunktion wende ich nun die o.g.
> Dreieicksungleichung an:
> Ich mache es Schritt für Schritt. Ich definiere also erst
> mein a und dann mein b aus der Dreiecksungleichung und
> setze es dann in die Dreiecksungleichung ein:
>
> a:=x-5
> b:=0
>
> Somit gilt:
>
> |x-5-0| [mm]\ge[/mm] ||x-5|-|0|| [mm]\ge[/mm] |x-5|-|0| [mm]\ge[/mm] |x-5|
>
> Bis hierhin muss es doch auf jeden Fall richtig sein?!
ja, aber schau mal, was Du gezeigt hast: $|x-5| [mm] \ge [/mm] |x-5|$ Dafür brauchst Du keine Dreiecksungleichung.
>
> Da meine Betragsfunktion ja nur für alle x [mm]\in[/mm] [-5, 3]
> definiert ist, kann ich den letzten Ausdruck der
> Dreiecksungleichung abschätzen. Also nochmal:
>
> |x-5-0| [mm]\ge[/mm] ||x-5|-|0|| [mm]\ge[/mm] |x-5|-|0| [mm]\ge \underbrace{|x-5|}_{\ge 2} \ge[/mm]
> 2
>
> Das müsste doch auch stimmen?!
Naja, es stimmt, doch sparst Du Dir an entscheidender Stelle die genaue Argumentation:
Wie kommst Du denn darauf, $|x-5| [mm] \ge [/mm] 2$ abzuschätzen? Es stimmt für das Intervall, doch Du hast es nirgendwo gezeigt.
>
>
> Ich hab mir nun auch einige andere ähnliche Beispiele
> ausgedacht und das nach diesem Muster durchgearbeitet und
> meine Abschätzung am Plot geprüft und jedes mal war meine
> Abschätzung korrekt.
>
> Ich sehe nicht, was daran falsch sein soll.
> Hast du vielleicht ein Gegenbeispiel parat, wo man, wenn
> man dieses Muster zur Abschätzung anwendet, eine falsche
> Abschätzung erhählt?
Probier mal aus:
a) |x-5|, x [mm] $\in$ [/mm] [-10;10] und
b) -|x-5|, x [mm] $\in$ [/mm] [-10;10]
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> > Da meine Betragsfunktion ja nur für alle x [mm]\in[/mm] [-5, 3]
> > definiert ist, kann ich den letzten Ausdruck der
> > Dreiecksungleichung abschätzen. Also nochmal:
> >
> > |x-5-0| [mm]\ge[/mm] ||x-5|-|0|| [mm]\ge[/mm] |x-5|-|0| [mm]\ge \underbrace{|x-5|}_{\ge 2} \ge[/mm]
> > 2
> >
> > Das müsste doch auch stimmen?!
> Naja, es stimmt, doch sparst Du Dir an entscheidender
> Stelle die genaue Argumentation:
> Wie kommst Du denn darauf, [mm]|x-5| \ge 2[/mm] abzuschätzen? Es
> stimmt für das Intervall, doch Du hast es nirgendwo
> gezeigt.
Was gibt es denn da noch zu argumentieren?
Ausführlicher haben wir es nicht gemacht.
> > Ich hab mir nun auch einige andere ähnliche Beispiele
> > ausgedacht und das nach diesem Muster durchgearbeitet und
> > meine Abschätzung am Plot geprüft und jedes mal war meine
> > Abschätzung korrekt.
> >
> > Ich sehe nicht, was daran falsch sein soll.
> > Hast du vielleicht ein Gegenbeispiel parat, wo man, wenn
> > man dieses Muster zur Abschätzung anwendet, eine falsche
> > Abschätzung erhählt?
> Probier mal aus:
> a) |x-5|, x [mm]\in[/mm] [-10;10] und
|x-5| [mm] \le \underbrace{|x|}_{\le 10}+5 \le [/mm] 10+5 [mm] \le [/mm] 15
|x-5| [mm] \ge [/mm] ||x|-|5|| [mm] \ge \underbrace{|x|}_{\ge 0}-|5| \ge [/mm] 0-5 [mm] \ge [/mm] -5
Somit gilt für alle x [mm] \in [/mm] [-10, 10]: -5 [mm] \le [/mm] |x-5| [mm] \le [/mm] 15
> b) -|x-5|, x [mm]\in[/mm] [-10;10]
-|x-5| [mm] \le [/mm] -( [mm] \underbrace{|x-5|}_{\ge 0} [/mm] ) [mm] \le [/mm] 0
-|x-5| [mm] \ge [/mm] -||x-5|-|0|| [mm] \ge [/mm] -( [mm] \underbrace{|x-5|}_{\le 15}-|0|) \ge [/mm] -15
Somit gilt für alle x [mm] \in [/mm] [-10, 10]: -15 [mm] \le [/mm] -|x-5| [mm] \le [/mm] 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peeter123,
> > > |x-5-0| [mm]\ge[/mm] ||x-5|-|0|| [mm]\ge[/mm] |x-5|-|0| [mm]\ge \underbrace{|x-5|}_{\ge 2} \ge[/mm]
> > > 2
> > >
> > > Das müsste doch auch stimmen?!
> > Naja, es stimmt, doch sparst Du Dir an entscheidender
> > Stelle die genaue Argumentation:
> > Wie kommst Du denn darauf, [mm]|x-5| \ge 2[/mm] abzuschätzen?
> Es
> > stimmt für das Intervall, doch Du hast es nirgendwo
> > gezeigt.
>
> Was gibt es denn da noch zu argumentieren?
> Ausführlicher haben wir es nicht gemacht.
Zu argumentieren ist, warum [mm] $|x-5|\ge2$ [/mm] für alle [mm] $x\in[-5,3]$ [/mm] gilt. Bisher hast du noch kein Argument dafür geliefert.
> > > Ich sehe nicht, was daran falsch sein soll.
> > > Hast du vielleicht ein Gegenbeispiel parat, wo man, wenn
> > > man dieses Muster zur Abschätzung anwendet, eine falsche
> > > Abschätzung erhählt?
> > Probier mal aus:
> > a) |x-5|, x [mm]\in[/mm] [-10;10] und
>
>
> |x-5| [mm]\le \underbrace{|x|}_{\le 10}+5 \le[/mm] 10+5 [mm]\le[/mm] 15
>
> |x-5| [mm]\ge[/mm] ||x|-|5|| [mm]\ge \underbrace{|x|}_{\ge 0}-|5| \ge[/mm]
> 0-5 [mm]\ge[/mm] -5
>
> Somit gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-10, 10]: -5 [mm]\le[/mm] |x-5| [mm]\le[/mm] 15
>
>
>
>
> > b) -|x-5|, x [mm]\in[/mm] [-10;10]
>
>
> -|x-5| [mm]\le[/mm] -( [mm]\underbrace{|x-5|}_{\ge 0}[/mm] ) [mm]\le[/mm] 0
>
> -|x-5| [mm]\ge[/mm] -||x-5|-|0|| [mm]\ge[/mm] -( [mm]\underbrace{|x-5|}_{\le 15}-|0|) \ge[/mm]
> -15
>
> Somit gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-10, 10]: -15 [mm]\le[/mm] -|x-5| [mm]\le[/mm] 0
Alle deine Schritte sind nicht falsch; [mm] $|x-5|\le15$ [/mm] für alle [mm] $x\in[-10,10]$ [/mm] hast du nicht begründet.
Was chrisno meinte: Wenn du [mm] $|x-5|\ge2$ [/mm] genauso ohne Begründung behaupten würdest wie oben, wäre das für manche [mm] $x\in[-10,10]$ [/mm] falsch.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 13.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich finde diese Anwendung der Dreiecksungleichung reichlich unpraktisch. Der wesentliche Effekt, ist, dass mit Umwegen eine Schätzung erreicht wird, die eventuell auch noch schlechter ist, als das Ergebnis der einfacheren direkten Betrachtung.
> Somit gilt für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [-10, 10]: -5 $ [mm] \le [/mm] $ |x-5| $ [mm] \le [/mm] $ 15
Da ist Dir dann entgangen, dass 0 [mm] $\le$ [/mm] |x| sowieso gilt.
Mein Weg: |x-5|, x $ [mm] \in [/mm] $ [-10;10]
Erste Betrachtung: wird x-5 im Intervall 0? Wenn ja, wie es hier für x=5 eintritt: die untere Schranke ist 0.
Zweite Betrachtung: für welchen Endpunkt ergibt sich der größere Wert? das ist für x=-10 mit |-10-5|=15 und damit die obere Schranke.
Diese Argumentation ist genauso unvollständig wie Deine, nur kürzer.
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