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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Finden Sie a,b $ [mm] \in \IR [/mm] $ , so dass a $ [mm] \le \left| f(x) \right| \le [/mm] $ b gilt für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [-5,3] für folgende Funktion:
f(x) = x+1 |
Hallo,
Mein Lösungsweg:
[mm] |f(x)|=|x|+|1|\le|x|+1=5+1=6=b
[/mm]
[mm] |f(x)|=||x+1|-|0||\ge|x+1|=-1+1=0=a
[/mm]
Wenn ich mir nun die Gerade f(x)=x+1 plotten lasse und mir den Bereich von [-5,3] anschaue, dann stimmt zwar mein a=0 als kleinster auftretender Funktionswert überein, mein b=6 als größer Funktionswert jedoch nicht...Den größten (betragsmäßigen) Funktionswert, den ich im Intervall [-5,3] sehe, ist |f(-5)|=|-4|=4
Wo liegt nun der Fehler in meiner Rechnung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 08.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie a,b [mm]\in \IR[/mm] , so dass a [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm]
> b gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-5,3] für folgende Funktion:
>
> f(x) = x+1
> Hallo,
>
>
> Mein Lösungsweg:
>
> [mm]|f(x)|=|x|+|1|\le|x|+1=5+1=6=b[/mm]
Das ist falsch.
Es gilt NICHT |x+1|=|x|+|1|.
Gruß Abakus
>
> [mm]|f(x)|=||x+1|-|0||\ge|x+1|=-1+1=0=a[/mm]
>
>
> Wenn ich mir nun die Gerade f(x)=x+1 plotten lasse und mir
> den Bereich von [-5,3] anschaue, dann stimmt zwar mein a=0
> als kleinster auftretender Funktionswert überein, mein b=6
> als größer Funktionswert jedoch nicht...Den größten
> (betragsmäßigen) Funktionswert, den ich im Intervall
> [-5,3] sehe, ist |f(-5)|=|-4|=4
>
> Wo liegt nun der Fehler in meiner Rechnung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
> > Mein Lösungsweg:
> >
> > [mm]|f(x)|=|x|+|1|\le|x|+1=5+1=6=b[/mm]
> Das ist falsch.
> Es gilt NICHT |x+1|=|x|+|1|.
>
Hallo Abakus,
Ahh ok, also lautet die richtige Lösung dann:
[mm] |f(x)|=|x+1|+|0|\le|x+1|=|-5+1|=|-4|=4=b
[/mm]
Jetzt müsste es stimmen oder?
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Hallo Jack,
> > > Mein Lösungsweg:
> > >
> > > [mm]|f(x)|=|x|+|1|\le|x|+1=5+1=6=b[/mm]
> > Das ist falsch.
> > Es gilt NICHT |x+1|=|x|+|1|.
>
> Ahh ok, also lautet die richtige Lösung dann:
>
> [mm]|f(x)|=|x+1|+|0|\le|x+1|=|-5+1|=|-4|=4=b[/mm]
>
>
> Jetzt müsste es stimmen oder?
Stimmt zwar, aber hier hast Du nur die eine Seite betrachtet. Glücklicherweise ergibt |3+1|=|4|=4 das gleiche.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Ich habe mir das Thema und meinen damaligen Beitrag hier nochmal angeschaut, und verstehe grad leider selber nicht mehr so ganz, wie ich auf obiges gekommen bin....
Die Dreiecksungleichung lautet ja:
[mm] |a+b|\le|a|+|b|
[/mm]
Nun auf die Aufgabe bezogen, um den maximalen Funktionswert abzuschätzen, würde ich wie folgt vorgehen:
[mm] |x+1|\le|x|+|1|=|-5|+1=6
[/mm]
Wo liegt hier jetzt der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Sa 15.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe mir das Thema und meinen damaligen Beitrag hier
> nochmal angeschaut, und verstehe grad leider selber nicht
> mehr so ganz, wie ich auf obiges gekommen bin....
>
> Die Dreiecksungleichung lautet ja:
>
> [mm]|a+b|\le|a|+|b|[/mm]
>
> Nun auf die Aufgabe bezogen, um den maximalen Funktionswert
> abzuschätzen, würde ich wie folgt vorgehen:
>
> [mm]|x+1|\le|x|+|1|=|-5|+1=6[/mm]
>
> Wo liegt hier jetzt der Fehler?
lies' mal bitte Freds Antwort. Du kannst auch locker
$$-632468237,348 [mm] \le [/mm] |f(x)| [mm] \le 6856475638*\pi$$
[/mm]
für Dein [mm] $f\,$ [/mm] hinschreiben. Das folgt wegen
$$-632468237,348 [mm] \le [/mm] |f(x)|=|x+1| [mm] \le [/mm] |x|+1 [mm] \le \max\{|-5|,\;|3|\}+1=6 \le 6856475638*\pi$$
[/mm]
für alle $-5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 3\,.$
[/mm]
Was anderes wäre es, wenn Du hier [mm] $\inf |f|\,$ [/mm] bzw. [mm] $\sup [/mm] |f|$ (auf [mm] $[-5,\;3]$)
[/mm]
bzw., weil hier [mm] $\min [/mm] |f|$ und [mm] $\max [/mm] |f|$ (auf [mm] $[-5,\;3]$) [/mm] existieren, würdest
Du auch diese berechnen, berechnen/angeben solltest!
Aber lauf Aufgabenstellung solltest Du nicht "den betragsgrößten
bzw. betragskleinsten Funktionswert angeben", sondern Du solltest
nur eine untere Schranke für die Beträge der Funktionswerte angeben
(da kann man jede Zahl [mm] $\le [/mm] 0$ bzw. "sogar" jede Zahl [mm] $\le \inf [/mm] |f|$
hernehmen - bei letzterem hat man aber i.a. dann unnötiger Weise
mehr Arbeit!), und Du solltest nur eine obere Schranke für die Beträge der
Funktionswerte angeben. Für letzteres ist jede Zahl [mm] $\ge \sup [/mm] |f|$
geeignet!
P.S.
Nochmal: Du darfst DIE GLEICHHEIT [mm] $|x+1|=|x|+|1|\,$ [/mm] NICHT hinschreiben.
Dies
$$|x+1| [mm] \le |x|+|1|=|x|+1\,$$ [/mm]
ist absolut korrekt - aber die Dreiecksungleichung sorgt hier (und i.a.
halt auch) NICHT für das Auffinden "optimaler" oberer Schranken (bzgl.
"Betrags- oder Norm-Abschätzungen"), sondern nur für das Auffinden
jedenfalls von oberen Schranken! (Oft reicht das ja auch vollkommen!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:11 Do 09.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie a,b [mm]\in \IR[/mm] , so dass a [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm]
> b gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-5,3] für folgende Funktion:
>
> f(x) = x+1
> Hallo,
>
>
> Mein Lösungsweg:
>
> [mm]|f(x)|=|x|+|1|\le|x|+1=5+1=6=b[/mm]
>
> [mm]|f(x)|=||x+1|-|0||\ge|x+1|=-1+1=0=a[/mm]
>
>
> Wenn ich mir nun die Gerade f(x)=x+1 plotten lasse und mir
> den Bereich von [-5,3] anschaue, dann stimmt zwar mein a=0
> als kleinster auftretender Funktionswert überein, mein b=6
> als größer Funktionswert jedoch nicht...Den größten
> (betragsmäßigen) Funktionswert, den ich im Intervall
> [-5,3] sehe, ist |f(-5)|=|-4|=4
>
> Wo liegt nun der Fehler in meiner Rechnung?
Du hast nur einen Fehler gemacht und den hat Abakus Dir genannt. Die Abschätzung
|f(x)| [mm] \le [/mm] |x|+1 [mm] \le [/mm] 6 für x [mm] \in [/mm] [-5,3]
ist richtig. Wo steht, dass Du das "optimale" b bestimmen sollst ?
FRED
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