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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Seien [mm] R_1 [/mm] , [mm] R_2 [/mm] zwei obere Dreiecksmatrizen mit positiven reellen Diagonaleinträgen.
Ich verstehe nicht wieso: [mm] (R_2 (R_1)^{-1} )^{\*} (R_2 (R_1)^{-1} [/mm] ) [mm] =I_n
[/mm]
wobei [mm] \* [/mm] bedeutet: [mm] A^{\*} [/mm] = [mm] \overline{A}^t
[/mm]
t.. transponiert |
Kann mir da vlt wer weiterhelfen?
Ich weiß dass [mm] R_2 (R_1)^{-1} [/mm] selbst eine obere Dreiecksmatrizen mit positiven reellen Diagonaleinträgen ist, weil dies eine gruppe ist. Aber die Gültigkeit von obigen ist trotzdem nicht klar.
Danke ;)
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Hallo,
> Seien [mm]R_1[/mm] , [mm]R_2[/mm] zwei obere Dreiecksmatrizen mit positiven
> reellen Diagonaleinträgen.
> Ich verstehe nicht wieso: [mm](R_2 (R_1)^{-1} )^{\*} (R_2 (R_1)^{-1}[/mm]
> ) [mm]=I_n[/mm]
>
> wobei [mm]\*[/mm] bedeutet: [mm]A^{\*}[/mm] = [mm]\overline{A}^t[/mm]
> t.. transponiert
> Ich weiß dass [mm]R_2 (R_1)^{-1}[/mm] selbst eine obere
> Dreiecksmatrizen mit positiven reellen Diagonaleinträgen
> ist, weil dies eine gruppe ist.
Genau. Das zeigt aber, dass der ganze zweite Faktor [mm] $(R_2 \cdot R_1^{-1})$ [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist. Die Inverse des zweiten Faktors muss also auch eine obere Dreiecksmatrix sein.
Es wird behauptet, dass bei dem Produkt die Identität herauskommt,
d.h. der erste Faktor [mm] $(R_2 \cdot R_1^{-1})^{\*}$ [/mm] müsste die Inverse zum ersten Faktor sein.
Aber der erste Faktor ist eine untere Dreiecksmatrix (wegen dem Transponieren). Die obige Formel gilt also im Allgemeinen nicht.
D.h. schaue nochmal nach, ob du die Formel richtig abgeschrieben hast.
Viele Grüße,
Stefan
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