Dreiecksmatrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mi 05.12.2012 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | Eine strikte obere Dreiecksmatrix ist eine n x n Matrix [mm] A=(a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle i [mm] \ge [/mm] j
Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Unterräumen
[mm] V_{0}=(0) \subseteq V_{n}=V [/mm] mit [mm] dim(V_{i})=i
[/mm]
Sei f: V-> V linear mit [mm] f(V_{i}) \subseteq V_{i-1} [/mm] für alle i=1,...,n
Sei nun A eine strikte obere Dreiecksmatrix. Zeigen Sie, dass für [mm] V_{i}= [/mm] Span [mm] (e_{1},...,e_{i}) \subset K^{n} [/mm] gilt [mm] L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1} [/mm] und folgen Sie, dass [mm] A^{n}=0 [/mm] gilt |
Im ersten Teil der Aufgabe haben wir bereits per Induktion gezeigt, dass [mm] f^{k}(V_{n}) [/mm] = f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ f(V_{n}) \subset V_{n-k} [/mm] für k [mm] \le [/mm] n sodass [mm] f^{n} [/mm] = f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f die 0-Abbildung ist
Kann ich damit argumentieren dass der [mm] span(A^{n}) [/mm] immer kleiner wird und dann für i=n 0 wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine strikte obere Dreiecksmatrix ist eine n x n Matrix
> [mm]A=(a_{ij})[/mm] mit [mm]a_{ij}=0[/mm] für alle i [mm]\ge[/mm] j
> Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Unterräumen
> [mm]V_{0}=(0) \subseteq V_{n}=V[/mm] mit [mm]dim(V_{i})=i[/mm]
> Sei f: V-> V linear mit [mm]f(V_{i}) \subseteq V_{i-1}[/mm] für
> alle i=1,...,n
>
> Sei nun A eine strikte obere Dreiecksmatrix. Zeigen Sie,
> dass für [mm]V_{i}=[/mm] Span [mm](e_{1},...,e_{n}) \subset K^{n}[/mm] gilt
1. Was sind den die [mm] e_{1},...,e_{n}
[/mm]
2. An der Def. von [mm] V_i [/mm] ist was faul: so wie es da oben steht , sind alle [mm] V_i [/mm] gleich.
Ich vermute: [mm]V_{i}=[/mm] Span [mm][mm] (e_{1},...,e_{i}) [/mm]
Kläre also was die [mm] e_{1},...,e_{n} [/mm] sind. Dann dürfte es nicht schwer sein die Inklusion
$ [mm] L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1} [/mm] $
zu zeigen.
FRED
> [mm]L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1}[/mm] und folgen Sie, dass [mm]A^{n}=0[/mm]
> gilt
> Im ersten Teil der Aufgabe haben wir bereits per Induktion
> gezeigt, dass [mm]f^{k}(V_{n})[/mm] = f [mm]\circ[/mm] ... [mm]\circ f(V_{n}) \subset V_{n-k}[/mm]
> für k [mm]\le[/mm] n sodass [mm]f^{n}[/mm] = f [mm]\circ[/mm] ... [mm]\circ[/mm] f die
> 0-Abbildung ist
>
> Kann ich damit argumentieren dass der [mm]span(A^{n})[/mm] immer
> kleiner wird und dann für i=n 0 wird?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 05.12.2012 | | Autor: | rolo4 |
[mm] e_{i} [/mm] sind die Basisvektoren der Standardbasis
Habe die Definition nochmal angeschaut- da dürfte alles korrekt abgetippt sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]e_{i}[/mm] sind die Basisvektoren der Standardbasis
O.K., das hätten wir geklärt.
> Habe die Definition nochmal angeschaut- da dürfte alles
> korrekt abgetippt sein
Das
$ [mm] V_{i}= [/mm] $ Span $ [mm] (e_{1},...,e_{n}) \subset K^{n} [/mm] $
aber wohl kaum.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mi 05.12.2012 | | Autor: | rolo4 |
Entschuldigung, Index geht bis i und nicht bis n
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung, Index geht bis i und nicht bis n
Dann mußt Du also zeigen: $ [mm] L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1} [/mm] $
Leg los !
FRED
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