Dreiecksmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 20.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
habe natürlich noch jede Menge fragen, bis zum Abwinken hehe:)
Okay ich hoffe auf Antworten aber will auch nicht drängeln...
Wenn ihr Zeit und Lust habt, freut es mich
ansonsten muss ich selbst klar kommen.. ich wollte nur zum Ausdruck bringen
dass ich wegen den vielen Fragen manchmel Gewissensbisse habe..
Also meine Frage war und ist noch:
zu der Aufgabe
http://www.math.uni-frankfurt.de/~rweidmann/LA1/aufg8.pdf
Aufgabe Nr. 30 mit den quadratischen Matrizen
Also meine Frage würde es reichen wenn ich zwei konkrete
obere Dreiecksmatrizen nehme und die multipliziere und sage
siehe das Produkt ist wieder eine obere Dreiecksmatrix?
Und habt ihr die Aufgabe auch so verstanden wie ich, also dass ich
einmal das für obere Dreiecksmatrizen zeigen soll und dann nochmal für
STRIKTE obere Dreiecksmatrizen und
der UNterschied zwische strikten oberen D.matrix und oberen D.Matrix
ist doch der, dass das erste nur einsen hat ansonsten halt Nullen und der
zweite könnte statt einsen auch andere Zahlen haben?? Oder irre ich mich?
Vielen Dank
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 So 20.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
> Hallo,
>
> habe natürlich noch jede Menge fragen, bis zum Abwinken
> hehe:)
> Okay ich hoffe auf Antworten aber will auch nicht
> drängeln...
> Wenn ihr Zeit und Lust habt, freut es mich
> ansonsten muss ich selbst klar kommen.. ich wollte nur zum
> Ausdruck bringen
> dass ich wegen den vielen Fragen manchmel Gewissensbisse
> habe..
>
> Also meine Frage war und ist noch:
>
> zu der Aufgabe
>
>
> http://www.math.uni-frankfurt.de/~rweidmann/LA1/aufg8.pdf
Ging bei mir komischerweise nicht. Bin ich halt hierhin gegangen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-frankfurt.de/~rweidman/ und habe auf Aufgabenblatt 8 geklickt. 
> Aufgabe Nr. 30 mit den quadratischen Matrizen
Du meinst Aufgabe 32, oder?
> Also meine Frage würde es reichen wenn ich zwei konkrete
>
> obere Dreiecksmatrizen nehme und die multipliziere und
> sage
> siehe das Produkt ist wieder eine obere Dreiecksmatrix?
Wenn ich dich richtig verstehe: Nein!
Die Aufgabe ist so zu verstehen:
Wenn du zwei beliebige (strikte) obere Dreiecksmatrizen nimmst (diese müssen dann natürlich so sein, dass das Matrixprodukt definiert ist!), dann musst du nachweisen, dass das Matrixprodukt wieder eine (strikte) obere Dreiecksmatrix ergibt.
Oder so:
Für zwei (strikte) obere Dreiecksmatrizen ist das Matrixprodukt stets wieder eine (strikte) obere Dreiecksmatrix!
> Und habt ihr die Aufgabe auch so verstanden wie ich, also
> dass ich
> einmal das für obere Dreiecksmatrizen zeigen soll und dann
> nochmal für
> STRIKTE obere Dreiecksmatrizen und...
Ja, du hast im Prinzip 2 Aufgaben:
1. Aufgabe:
Wenn du zwei beliebige obere Dreiecksmatrizen nimmst (diese müssen dann natürlich so sein, dass das Matrixprodukt definiert ist!), dann musst du nachweisen, dass das Matrixprodukt wieder eine obere Dreiecksmatrix ergibt.
2. Aufgabe:
Wenn du zwei beliebige strikte obere Dreiecksmatrizen nimmst (diese müssen dann natürlich so sein, dass das Matrixprodukt definiert ist!), dann musst du nachweisen, dass das Matrixprodukt wieder eine strikte obere Dreiecksmatrix ergibt.
Natürlich darfst du das Ergebnis der ersten Aufgabe zur Lösung der 2. Aufgabe verwenden (beachte, dass jede strikte obere Dreiecksmatrix insbesondere eine obere Dreiecksmatrix ist!). Du musst, bei der 2en Aufgabe, nur noch zusätzlich etwas über die Diagonaleinträge des Matrixproduktes nachweisen (diese müssen ja alle $1$ sein!).
> der UNterschied zwische strikten oberen D.matrix und oberen
> D.Matrix
> ist doch der, dass das erste nur einsen hat ansonsten halt
> Nullen und der
> zweite könnte statt einsen auch andere Zahlen haben??
Nein!
Eine obere Dreiecksmatrix ist eine (quadratische) Matrix, die unterhalb der Diagonaleinträge nur Nullen stehen hat. Die anderen Einträge können besetzt sein, wie sie wollen...
Eine strikte obere Dreiecksmatrix hat ebenso unterhalb der Diagonaleinträge nur Nullen stehen, und oberhalb der Diagonaleinträge kann auch stehen, was will. Aber die Diagonaleinträge sind alle mit $1$ besetzt!
jeweils ein Beispiel:
obere Dreiecksmatrix (4x4):
[mm] \begin{bmatrix}
-3 & 5 & 0 & 7 \\
0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} [/mm]
(Hier sind die Diagonaleinträge (von oben links nach unten rechts):
$-3$; $0$, $2$, $1$.
Wenn du dir vorstellst, du würdest durch diese Diagonaleinträge eine gerade Linie ziehen (also so eine Art Diagonale), so stehen alle "Nichtnulleinträge" höchstens in dem oberen Dreieck, welches du dann in der Matrix siehst, wobei die Diagonaleinträge 'mitgenommen' werden müssen. (In dem unteren Dreieck (die Diagonaleinträge nicht 'mitgenommen'!) stehen jedenfalls nur Nullen!).
Ist jetzt etwas salopp formuliert, ich hoffe, du verzeihst mir das.  )
strikte obere Dreiecksmatrix (4x4):
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} [/mm]
(Hier sind die Diagonaleinträge alle $1$!).
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 So 20.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
da ich gesehen habe, dass du auch etwas in Zeitnot bist:
Den Beweis zur ersten Aufgabe (obere Dreiecksmatrix mal obere Dreiecksmatrix=obere Dreiecksmatrix) findest du innerhalb des Beweises zu Lemma 4.12, S. 20, in diesem Skript (Marcel, Nachtrag 21.50 Uhr: Lasse aber die dortige Voraussetzung der Invertierbarkeit von $A$ und $B$ weg. Schreib also: "Seien $A$,$B$ obere Dreiecksmatrizen..."):
http://www.mathematik.uni-trier.de/~schulz/script.pdf
(Der Beweis endet bei $...=0$, und anstatt: [m]\summe_{k=j+1}{a_{ij}b_{kj}}[/m] gehört da:
[m]\summe_{k=j+1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}[/m] hin. Kontrollier das aber bitte noch einmal).
Kurz und bündig (4 Zeilen).
Den Rest (also die Behauptung für strikte obere Dreiecksmatrizen) bekommst du, denke ich, alleine hin. Falls nicht, so lies dir mal den ganzen Beweis, insbesondere die Formel für die Inverse (ich hoffe, sie ist fehlerfrei; habe ich aber nicht kontrolliert!), durch, dann sollte es aber auf jeden Fall funktionieren.
(Du kannst, anstatt über diese Formel zur Inversen, auch "direkt nachrechnen", dass die Diagonaleinträge in dem Matrixprodukt zweier strikter oberer Dreiecksmatrizen alle 1 sind! Wie in der kleinen Rechnung, wo gezeigt wird:
obere Dreiecksmatrix*obere Dreiecksmatrix=obere Dreiecksmatrix, wenn du dir dort überlegst, bei welchen Indizes dort bei strikten oberen Dreiecksmatrizen $1$en stehen! Berechne also im Falle $A$,$B$ strikte obere Dreiecksmatrix den Ausdruck [mm] $c_{ii}$!). [/mm]
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Di 22.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Ich habe diese Mitteilung eigentlich schon am Sonntag/Montag Nacht
gesendet, es scheint aber, dass ein Problem mit dem Posting
gegeben hat... Also schicke ich es jetzt nach...
Hallo,
danke vielmals für deine !schnelle! Hilfe und den Skript-Hinweis!
Also hier ist meine Lösung:
Aufgabe 32)
Gegeben: quadratische Matrix [mm] $A=[A_{ij}]$
[/mm]
heisst obere Dreiecksmatrix,
wenn [mm] $A_{ij}=0$ [/mm] für $i > j$ ist und strikte obere
Dreiecksmatrix, wenn zusätzlich [mm] $A_{ij}=1$ [/mm] für $i=j$ ist.
Zu Zeigen Nr.1 : Multiplikation zweier oberer Dreiecksmatrizen
ist wieder eine obere Dreiecksmatrix.
Beweis Nr.1 : Seien $A,B$ obere Dreiecksmatrizen in [mm] $K^{n x n}$
[/mm]
und sei $C=A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] [c_{ij}]$. [/mm] Für $i > j$ gilt:
[mm]
c_{ij} = \summe_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
= \underbrace{\summe_{k=1}^{j} a_{ik} \cdot b_{kj}}_{k \le j < i \Rightarrow a_{ij}=0} + \underbrace{\summe_{k=j+1}^{} a_{ik} \cdot b_{kj}}_{k < j \Rightarrow b_{kj=0}}
=0
[/mm]
Damit ist bewiesen, dass die Multiplikation zweier oberer Matrizen ($A$ und $B$)
wieder eine obere Dreiecksmatrix ($C$) ist.
Zu Zeigen Nr. 2 : Multiplikation zweier strikter oberer Dreiecksmatrizen ist wieder
eine strikte obere Dreiecksmatrix.
Beweis Nr. 2 :
(Der erste Teil des Beweises Nr. 2 ist analog zum Beweis Nr. 1)
Seien $A,B$ strikte obere Dreiecksmatrizen in [mm] $K^{n x n}$
[/mm]
und sei $C=A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] [c_{ij}]$. [/mm] Für $i > j$ gilt:
[mm]
c_{ij} = \summe_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
= \underbrace{\summe_{k=1}^{j} a_{ik} \cdot b_{kj}}_{k \le j < i \Rightarrow a_{ij}=0} + \underbrace{\summe_{k=j+1}^{} a_{ik} \cdot b_{kj}}_{k < j \Rightarrow b_{kj=0}}
=0
[/mm]
Damit ist erstmal , dass $C$ eine obere Dreiecksmatrix ist.
Zweiter Teil des Beweises Nr. 2:
Seien $A,B$ strikte obere Dreiecksmatrizen in [mm] $K^{n x n}$
[/mm]
und sei $C=A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] [c_{ij}]$. [/mm] Für $i = j$ gilt:
[mm]
c_{ii} = \underbrace{\summe_{k=1}^{i} a_{ik} \cdot b_{ki}}_{i \neq k \Rightarrow a_{ik} \cdot b_{ki}=0 // i=k \Rightarrow a_{ik} \cdot b_{ki}=1}
=1
[/mm]
Wobei zu erwähnen ist, dass der Fall $i=k [mm] \Rightarrow a_{ik} \cdot b_{ki}=1$ [/mm] nur einmal
vorkommen kann in dieser Summenformel.
Somit ist auch bewiesen, dass $C$ eine strikte obere Dreiecksmatrix ist.
Ich glaube, das klingt ganz gut oder was meint ihr ??
Gute Nacht...
nevinpol
P.S: Bin noch die ganze Nacht hier:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:27 Di 13.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
da ich gerade woandes auf diesen Artikel verwiesen habe, habe ich gesehen, dass du ja noch deinen Beweis präsentiert hattest.
Entschuldige, das habe ich gar nicht mehr mitbekommen (und auch die anderen anscheinend nicht), besser wäre gewesen, du hättest das ganze als Frage geschrieben anstatt als Mitteilung.
Momentan bin ich auch zu müde, das ganze nochmals zu kontrollieren, aber ich denke, das sollte mittlerweile auch unnötig sein! (Die Frage hattest du ja vor ca. 3 Wochen gestellt!)
Ggf. werde ich mir das ganze noch einmal anschauen, falls jemand anderes diese oder eine ähnliche Frage hat, um darauf verweisen zu können, aber, so wie ich mich kenne, habe ich das ganze eh bald vergessen.
Falls es nicht in Vergessenheit gerät und ich mal mittags oder früher am Abend etwas Zeit habe, werde ich mir deine Rechnungen/deine Beweise noch zu Gemüte führen!
P.S.: Wie gesagt, 'markiere' bitte auch deine Lösung als Frage (oder als Antwort), wenn du eine machst, die Mitteilungen übersehe ich leider gerne...
Viele Grüße
Marcel
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