Dreiecksmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Finde eine geschlossene Form für [mm] A^n. [/mm] A sei eine 3x3 obige Dreiecksmatrix mit auf der Diogonalen nur 1. und Beweisen sie.
Also: A= [mm] \pmat{ 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] |
Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Da ich einfach keine geschlossene Form finde und morgen schreibe ich die Klasur. Und dies war die letzte Aufgabe bei dem Klasurvorbereitungsblatt.
Kann mir bitte einer die geschlossene Form sagen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Finde eine geschlossene Form für [mm]A^n.[/mm] A sei eine 3x3 obige
> Dreiecksmatrix mit auf der Diogonalen nur 1. und Beweisen
> sie.
>
> Also: A= [mm]\pmat{ 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Da ich einfach keine
> geschlossene Form finde und morgen schreibe ich die Klasur.
> Und dies war die letzte Aufgabe bei dem
> Klasurvorbereitungsblatt.
>
> Kann mir bitte einer die geschlossene Form sagen.
Hallo black_jaguar,
ich vermute mal, es hängt nur am Eintrag rechts oben. Die anderen sollten nach dem Berechnen von [mm]A^2, A^3, A^4,\ldots[/mm] eigentlich klar sein. Es ist also
[mm]A^n=\begin{pmatrix} 1&n\cdot a& \ast\\ 0&1&n\cdot c\\ 0&0&1\end{pmatrix}[/mm].
Beim Eintrag (*) steht jeweils
n=2: ac + 2b
n=3: 3ac + 3b
n=4: 6ac + 4b
n=5: 10ac + 5b
Auffällig dabei ist, dass die b's "immer eins mehr" werden - da ist der Term "[mm]+n\cdot b[/mm]" naheliegend.
Die Koeffizienten der ac sind Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10,...). Sie erhält man, wenn man die ersten n natürlichen Zahlen addiert:
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10 usw.
Dafür gibt es die Formel [mm]\sum_{k=1}^n k=\frac 12\cdot n(n-1)=\frac 12\cdot (n^2-n)[/mm].
Insgesamt: [mm]A^n=\begin{pmatrix} 1&n\cdot a& \frac 12\cdot (n^2-n)\cdot ac +n\cdot b\\ 0&1&n\cdot c\\ 0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
Diese Behauptung musst du natürlich noch beweisen - z.B. durch Induktion.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:42 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fulla!
> Dafür gibt es die Formel [mm]\sum_{k=1}^n k=\frac 12\cdot n(n-1)=\frac 12\cdot (n^2-n)[/mm].
Die Minuszeichen müssen durch Pluszeichen ersetzt werden.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:07 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Hallo Fulla!
>
>
> > Dafür gibt es die Formel [mm]\sum_{k=1}^n k=\frac 12\cdot n(n\red{+}1)=\frac 12\cdot (n^2\red{+}n)[/mm].
EDIT: Fehler korrigiert.
> Die Minuszeichen müssen durch Pluszeichen ersetzt werden.
>
>
> Gruß
> DieAcht
Hallo Acht,
stimmt, da hast du recht. War da wohl etwas schludrig... Danke für den Hinweis!
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Sa 10.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
definiere die Matrix $N$ durch $A=E+N$, wobei E die Einheitsmatrix bezeichnet. Offenbar ist N nilpotent, genauer gilt bereits [mm] $N^3=0$.
[/mm]
Da E und N kommutieren kannst du [mm] A^k [/mm] bequem mit der binomischen Formel berechnen.
Das funktioniert so natürlich auch für $n [mm] \times [/mm] n$ Dreiecksmatrizen.
Liebe Grüße
|
|
|
|
