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| Aufgabe | Mit Hilfe der Dreicksgleichung zeige man, dass für alle reellen Zahlen x, y die Ungleichung
|x + y| [mm] \ge [/mm] ||x| - |y|| und |x - y| [mm] \ge [/mm] ||x| - |y||
bestehen. |
Hallo an alle! :) Ich bräuchte bitte ein bisschen Unterstützung in mit dieser Aufagbe.
Die Dreicksungleichung ist ja |a + b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|
Kann ich die Betragsstriche irgendwie auflösen? und ändert sich dann das grösser/gleich zu kleiner/gleich?
Gibt es Regeln die mir helfen zu zeigen, dass die Ungleichungen gelten?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Mi 11.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Hallo Mausi,
was hältst du vom quadrieren beider Seiten (darf man, da beide Seiten Positiv)?
|x + y| [mm] \ge [/mm] ||x| - |y||
[mm]x^2 + y^2 +2xy \ge x^2+y^2 -2*|x*y| [/mm]
xy [mm] \ge [/mm] -|xy|
was ja für alle reellen Zahlen stimmt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mi 11.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Mit Hilfe der Dreicksgleichung zeige man, dass für alle
> reellen Zahlen x, y die Ungleichung
>
> |x + y| [mm]\ge[/mm] ||x| - |y|| und |x - y| [mm]\ge[/mm] ||x| - |y||
>
> bestehen.
Alternativ geht auch folgendes
1.
[mm] |x|=|x+y-y|\le|x+y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x+y| [/mm] und
[mm] |y|=|x+y-x|\le|x+y|+|x| \Rightarrow |y|-|x|\le|x+y| [/mm] also insgesamt
[mm] ||x|-|y||\le|x+y| [/mm] und fertig.
2.
[mm] |x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x-y| [/mm] und
[mm] |y|=|x-y+x|\le|x-y|+|x| \Rightarrow |y|-|x|\le|x-y| [/mm] also insgesamt
[mm] ||x|-|y||\le|x-y|
[/mm]
mfg ullim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
Einen wunderschönen guten Morgen!
>
> > Mit Hilfe der Dreicksgleichung zeige man, dass für alle
> > reellen Zahlen x, y die Ungleichung
> >
> > |x + y| [mm]\ge[/mm] ||x| - |y|| und |x - y| [mm]\ge[/mm] ||x| - |y||
> >
> > bestehen.
>
> Alternativ geht auch folgendes
>
> 1.
>
> [mm]|x|=|x+y-y|\le|x+y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x+y|[/mm] und
Noch alternativer ist es, hier schon aufzuhören, denn ich kann natürlich x und y in y und x umtaufen und kriege damit die andere Abschätzung.
Und wenn ich y durch -y ersetze, kriege ich Teil 2, weil |-y| = |y| gilt.
> [mm]|y|=|x+y-x|\le|x+y|+|x| \Rightarrow |y|-|x|\le|x+y|[/mm] also
> insgesamt
>
> [mm]||x|-|y||\le|x+y|[/mm] und fertig.
>
>
> 2.
>
> [mm]|x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x-y|[/mm] und
>
> [mm]|y|=|x-y+x|\le|x-y|+|x| \Rightarrow |y|-|x|\le|x-y|[/mm] also
> insgesamt
>
> [mm]||x|-|y||\le|x-y|[/mm]
>
> mfg ullim
Gruß und frohes Schaffen allerseits
Dieter
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> Hi,
>
> > Mit Hilfe der Dreicksgleichung zeige man, dass für alle
> > reellen Zahlen x, y die Ungleichung
> >
> > |x + y| [mm]\ge[/mm] ||x| - |y|| und |x - y| [mm]\ge[/mm] ||x| - |y||
> >
> > bestehen.
>
> Alternativ geht auch folgendes
>
> 1.
>
> [mm]|x|=|x+y-y|\le|x+y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x+y|[/mm] und
>
> [mm]|y|=|x+y-x|\le|x+y|+|x| \Rightarrow |y|-|x|\le|x+y|[/mm] also
> insgesamt
>
> [mm]||x|-|y||\le|x+y|[/mm] und fertig.
>
>
> 2.
>
> [mm]|x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x-y|[/mm] und
>
> [mm]|y|=|x-y+x|\le|x-y|+|x| \Rightarrow |y|-|x|\le|x-y|[/mm] also
> insgesamt
>
> [mm]||x|-|y||\le|x-y|[/mm]
>
> mfg ullim
Vielen Dank schon mal für die Hilfe :) Ich versuche gerade dies nachzuvollziehen. Könnte jemand bitte mal nachhelfen und z.B. diese Zeile erklären?
[mm]|x|=|x+y-y|\le|x+y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x+y|[/mm]
Ich versuche es trotzdem schonmal alleine. Danke!!!
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> Vielen Dank schon mal für die Hilfe :) Ich versuche gerade
> dies nachzuvollziehen. Könnte jemand bitte mal nachhelfen
> und z.B. diese Zeile erklären?
>
> [mm]|x|=|x+y-y|\le|x+y|+|y| \Rightarrow |x|-|y|\le|x+y|[/mm]
>
> Ich versuche es trotzdem schonmal alleine. Danke!!!
Hallo Sarah,
also es ist doch $y-y=0$, also [mm] $|x|=|x+\red{0}|=|x+\red{y-y}|=|(x+y)+(-y)|\underbrace{\le}_{Dreiecksungl.}|x+y|+|-y|=|x+y|+|y|$
[/mm]
Also ohne den ganzen "Mittelteil":
[mm] $|x|\le [/mm] |x+y|+|y|$ Hier $-|y|$ auf beiden Seiten
[mm] \Rightarrow $|x|-|y|\le [/mm] |x+y|$
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für die Zeit und Mühe zur Erklärung und das zu dieser späten Stunde :)
Viele liebe Grüsse an alle! und noch eine gute Nacht!
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