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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkellängen a = b rotiert um die Basis.
Wie gross müssen die Basiswinkel gewählt werden, damit der entstandene Doppelkegel maximales Volumen erhält ? |
Hmm, ja irgendwie begreiffe ich nicht wie ich hier genau vorgehen muss. Ich nehme mal an, dass es sich um ein Extremwertproblem handelt, da von "maximal" die Rede ist.
Bei den Basiswinkeln weiss ich ja, dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] ist.
Das ziel ist ja das Volumen des Kegels zu maximieren. Das heisst ich müsste zuerst eine Funktion finden die die Fläche des Dreiecks maximiert, und dann von dort aus das Integral berechnen, nehme ich mal an.
Oder geht es hier gar nicht um Funktionen? Ich komme hier nicht weiter weil ich man hier ja so gut wie keine Angaben hat, die Fläche berechnet sich ja durch die Seite c und die Höhe von c. Aber wie soll ich c herausfinden? Das einzige was ich ja weiss ist, dass a gleichlang ist wie b.
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Hallo Marius6d,
> Ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkellängen a = b
> rotiert um die Basis.
> Wie gross müssen die Basiswinkel gewählt werden, damit
> der entstandene Doppelkegel maximales Volumen erhält ?
Da die Schenkllänge fest gegeben ist, kannst du das Dreieck auch dadurch in seiner Größe variieren, indem du die Höhe und damit die Grundseite g veränderst.
Lege ein Koordinatensystem durch die Spitze des Dreiecks, so dass für eine bestimmte Höhe die x-Achse durch die Grundseite geht.
Jeweilige Höhe und Grundseite stehen mit der Schenkellänge in einem bestimmten (durch den Basiswinkel gegebenen) Verhältnis.
Oder: Betrachte den (rechten) Schenkel als eine Gerade, die bei h die y-Achse schneidet und deren Steigung m sich mit der Variation der Basiswinkel ändert.
Diese Gerade rotiert um die x-Achse...
> Hmm, ja irgendwie begreiffe ich nicht wie ich hier genau
> vorgehen muss. Ich nehme mal an, dass es sich um ein
> Extremwertproblem handelt, da von "maximal" die Rede ist.
>
> Bei den Basiswinkeln weiss ich ja, dass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm]
> ist.
>
> Das ziel ist ja das Volumen des Kegels zu maximieren. Das
> heisst ich müsste zuerst eine Funktion finden die die
> Fläche des Dreiecks maximiert, und dann von dort aus das
> Integral berechnen, nehme ich mal an.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Oder geht es hier gar nicht um Funktionen? Ich komme hier
> nicht weiter weil ich man hier ja so gut wie keine Angaben
> hat, die Fläche berechnet sich ja durch die Seite c und
> die Höhe von c. Aber wie soll ich c herausfinden? Das
> einzige was ich ja weiss ist, dass a gleichlang ist wie b.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Erstmals vielen Dank. Ich habe das gleichschenklige Dreieck einfach mal in 2 rechtwinklige dreiecke umgewandelt. Obwohl ich irgendwie immer noch nicht verstehe wie ich hier vorgehen muss müssen doch die Basiswinkel möglichst klein sein nicht?
Irgendwie kann ich mir das hier gar nicht vorstellen wie ich hier eine Funktion erstellen muss.
So bin glaub ich auf die Lösung gekommen, meiner Meinung nach [mm] \alpha [/mm] bzw. [mm] \beta [/mm] = 45°
Ich hab das Gleichschenklige Dreieck als 2 Rechtwinklige Dreiecke dargestellt. Dann ist die Fläche ja [mm] \bruch{x*y}{2}*2 [/mm] (*weil es ja 2 Teilflächen sind) Dies entspricht aber wieder der Formel für die Flächenberechnung eines Rechtecks. Somit berechnet sich die Fläche durch x*y und die Seite a=b habe ich als Diagonale dieses Rechtecks genommen. Die Diagonale muss aber immer Gleich langen bleiben, da sich ja nur die Höhe und die Basis des Dreicks, bzw. die x und y Seiten des Rechtecks verändern. Deshalb habe ich d als Radius einer Kreisgleichung gewählt und die Beiden Funktionen verknüpft: A(x) =x*y und y = [mm] \wurzel{100-x^2} [/mm] (ich habe hier die Seite a=b=d=r mit 10 genommen)
Daraus ergibt sich die Funktion:
A(x) = [mm] x*\wurzel{100-x^2}
[/mm]
Dann abgeleitet und die Nullstelle bestimmt, ergibt einen Extremwert bei [mm] x=\wurzel{50}.
[/mm]
Dadurch da ich ja im Rechteck jetzt die Grundseite und die Diagonale kenne, kann ich über die Definition des Rechtwinkligen Dreiecks den Winkel bei [mm] \alpha [/mm] berechnen:
x/d [mm] =cos\alpha
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{50}}{10}=0.707
[/mm]
Davon den Arccos ergibt 45°.
Ich hoffe ich habe richtig überlegt:D
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Hallo Marius6d,
> Erstmals vielen Dank. Ich habe das gleichschenklige Dreieck
> einfach mal in 2 rechtwinklige dreiecke umgewandelt.
> Obwohl ich irgendwie immer noch nicht verstehe wie ich hier
> vorgehen muss müssen doch die Basiswinkel möglichst klein
> sein nicht?
>
> Irgendwie kann ich mir das hier gar nicht vorstellen wie
> ich hier eine Funktion erstellen muss.
>
> So bin glaub ich auf die Lösung gekommen, meiner Meinung
> nach [mm]\alpha[/mm] bzw. [mm]\beta[/mm] = 45°
vermutlich hast du recht, aber du sollst das ja rechnerisch für unbestimmte Schenkel der Länge a nachweisen...
>
> Ich hab das Gleichschenklige Dreieck als 2 Rechtwinklige
> Dreiecke dargestellt. Dann ist die Fläche ja
> [mm]\bruch{x*y}{2}*2[/mm] (*weil es ja 2 Teilflächen sind) Dies
> entspricht aber wieder der Formel für die
> Flächenberechnung eines Rechtecks. Somit berechnet sich
> die Fläche durch x*y und die Seite a=b habe ich als
> Diagonale dieses Rechtecks genommen. Die Diagonale muss
> aber immer Gleich langen bleiben, da sich ja nur die Höhe
> und die Basis des Dreicks, bzw. die x und y Seiten des
> Rechtecks verändern. Deshalb habe ich d als Radius einer
> Kreisgleichung gewählt und die Beiden Funktionen
> verknüpft: A(x) =x*y und y = [mm]\wurzel{100-x^2}[/mm] (ich habe
> hier die Seite a=b=d=r mit 10 genommen)
nein, du solltest einfach mit a weiterrechnen:
>
> Daraus ergibt sich die Funktion:
>
> A(x) = [mm]x*\wurzel{100-x^2}[/mm]
[mm] A(x)=x*\wurzel{a^2-x^2}
[/mm]
jetzt rechne mal weiter:
>
> Dann abgeleitet und die Nullstelle bestimmt, ergibt einen
> Extremwert bei [mm]x=\wurzel{50}.[/mm]
hier sollte noch a enthalten sein.
>
> Dadurch da ich ja im Rechteck jetzt die Grundseite und die
> Diagonale kenne, kann ich über die Definition des
> Rechtwinkligen Dreiecks den Winkel bei [mm]\alpha[/mm] berechnen:
>
> x/d [mm]=cos\alpha[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du solltest wieder zum Dreieck zurückkehren, dessen ganze Grundseite x ist,
also: [mm] \bruch{\bruch{x}{2}}{a}=\cos \alpha
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{50}}{10}=0.707[/mm]
Du bekommst keinen konkreten Winkel heraus, stattdessen ist er von a abhängig.
>
> Davon den Arccos ergibt 45°.
>
> Ich hoffe ich habe richtig überlegt:D
grundsätzlich ja.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ja genau, dass mit dem auf "a" zurückkommen hab ich glatt vergessen, aber das Prinzip ist mir klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Wollte Fragen woher diese Aufgabe stammt
Gruss Dinker
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http://www.sbf.admin.ch/htm/themen/bildung/matur/aufgaben/pass_herbst_07/Mathe_Herbst_2007.pdf