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| Aufgabe | Gesamte Aufgabe lautet:
a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC mit A(1/1), B(6/6) und C(4/8).
b) Geben Sie die Winkelhalbierende Alpha ein.
c) Geben Sie die Winkelhalbierende Beta ein.
d) Lesen Sie den Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden aus der Zeichnung mit gegebenfalls einer Nachkommastelle ab.
e) Berechnen Sie den Inkreisradius als Abstand des Schnittpunkts aus Teilaufgabe d) und einer beliebigen Seite.
f) Geben Sie die Funktionsgleichung der Mittelsenkrechten der Seite c an.
g) Geben Sie die Funktionsgleichung der Mittelsenkrechten der Seite a an.
h) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten.
i) Geben Sie den Umkreisradius an. |
Hallo,
kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Ich bearbeite gerade die oben angegebene Aufgabe mit den Teilaufgaben. Und bei der Teilaufgabe e) komme ich einfach nicht weiter. Vielleicht habe ich ja auch ein Brett vor dem Kopf.
Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie den Inkreisradius als Abstand des Schnittpunkts aus Teilaufgabe d) und einer beliebigen Seite.
Wie soll ich dies machen? Kann mir bitte jemand helfen.
Im Voraus vielen Dank.
Liebe Grüße Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Sa 06.09.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Sabine,
da ich keine Ahnung habe, welche Teilgebiete der Geometrie in der Mathematik Dir zur Verfügung stehen (z.B. euklidische Geometrie, analytische Geometrie oder vektorielle analytische Geometrie), versuche ich es mal so elementar wie möglich.
Die Zeichnung der Figur erfolgt offenbar in einem ebenen Koordinatensystem.
Du hast also aus d) den Mittelpunkt des Inkreises (als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, nennen wir ihn P) und die drei Seiten des Dreiecks verlängert zu Geraden, bestimmt durch die Eckpunkte.
1. Berechne aus zwei Eckpunkten (egal welchen, weil ja der Abstand zu allen drei Seiten dergleiche sein muss) die Geradengleichung y = [mm] m_{1}*x [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] auf der die Seite liegt (nennen wird die Gerade g). Dazu kannst Du die Zweipunkteform der Geradengleichung benutzen oder, wenn Du die nicht kennst, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen und lösen.
2. Aus der Steigung [mm] m_{1} [/mm] dieser Geraden g kannst Du die Steigung [mm] m_{2} [/mm] der Geraden berechnen, die senkrecht zu g verlaufen, denn der Abstand eines Punktes zu einer Geraden steht ja senkrecht auf dieser Gerade. (Hilfe dazu: [mm] m_{1} [/mm] * [mm] m_{2} [/mm] = -1)
3. Nun kannst Du aus der Steigung [mm] m_{2} [/mm] und den Koordinaten von P die Geradengleichung y = [mm] m_{2}*x [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] bestimmen, auf der der Abstand zwischen P und g liegt. (z.B. mit der Punktsteigungsform oder als Lösung einer linearen Gleichung mit der Unbekannten [mm] b_{2}).
[/mm]
4. Jetzt berechnet sich der Schnittpunkt S zwischen diesen beiden Geraden wiederum als Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Unbekannten.
5. Und als letztes kannst Du den Abstand von S und P und damit den Radius des Inkreises aus der bekannten Abstandsformel zweier Punkte berechnen, die aus dem Satz des Pythagoras stammt.
Weit ist der Weg...
Gruß
Uli
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Falls du die Hessesche Normalform einer Geraden kennst, kannst du den gesuchten Abstand auch damit berechnen.
Beachte auch, daß das gegebene Dreieck rechtwinklig ist (betrachte die Steigungen der Dreiecksseiten, dann siehst du das sofort). Das kann bei der Lösung vielleicht nützlich sein.
Bitte das Folgende nur als eine Nebenbemerkung verstehen. Ich weiß, das ist nicht das Ziel der Aufgabe, aber wenn es nur darum geht, den Inkreisradius zu berechnen, geht das viel einfacher.
Wenn du vom Inkreismittelpunkt zu den Ecken Strecken zeichnest, zerfällt das Dreieck in drei Teildreiecke. In jedem Teildreieck ist der Inkreisradius [mm]\varrho[/mm] Höhe auf eine der Seiten [mm]a,b,c[/mm] des Dreiecks. Wenn du die Flächeninhalte der Teildreiecke addierst, bekommst du für den Flächeninhalt [mm]F[/mm] des gesamten Dreiecks die bekannte Formel:
[mm]F = \frac{1}{2} (a+b+c) \varrho[/mm]
Jetzt kannst du aber [mm]a,b,c[/mm] leicht mit dem Satz des Pythagoras aus den Koordinaten der Eckpunkte berechnen. Auf der anderen Seite kannst du auch [mm]F[/mm] elementar berechnen. Zeichne dazu ein möglichst kleines Rechteck mit achsenparallelen Seiten um das Dreieck herum und ziehe vom Rechtecksinhalt die Inhalte rechtwinkliger Dreiecke ab - alles ist aus den Koordinaten direkt ablesbar. Alternativ kannst du auch mit der Rechtwinkligkeit des Dreiecks bequem zu [mm]F[/mm] kommen. Und damit liefert dir die obige Formel auch das gesuchte [mm]\varrho[/mm].
Ich habe auf diese Weise
[mm]\varrho = \frac{1}{2} \left( \sqrt{98} - \sqrt{58} \right)[/mm]
erhalten.
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