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| Aufgabe | Gesucht ist ein Dreieck mit [mm] h_{a}=1, w_{\beta}=w_{\gamma}=4. [/mm] Man setze [mm] \eta [/mm] = 4 * sin [mm] \bruch{\beta}{2} [/mm] und zeige, dass [mm] \eta [/mm] eine Nullstelle des Polynoms
P(X) = [mm] X^{3} [/mm] - [mm] X^{2} [/mm] - 12X + 8
ist. Man zeige, dass P(X) eine reelle Nullstelle in (0,4) besitzt, aber keine rationale Nullstelle. |
Hallo Matheraum,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß nicht, wie ich da rangehen soll und kann daher auch keinen Ansatz posten...
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> P(X) = [mm]X^{3}[/mm] - [mm]X^{2}[/mm] - 12X + 8
> ist. Man zeige, dass P(X) eine reelle Nullstelle in (0,4)
> besitzt, aber keine rationale Nullstelle.
Fuer normierte Polynome (also der Koeffizient vor der hoechsten Potenz von $X$ ist 1) mit ganzzahligen Koeffizienten gilt folgendes:
- Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler des konstanten Terms.
- Jede rationale Nullstelle ist bereits ganzzahlig.
Damit solltest du das recht fix zeigen koennen, moegliche Nullstellen sind [mm] $\pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 4, [mm] \pm [/mm] 8$ (Teiler von $8$).
Um diese Aussagen zu zeigen (wenn du sie nicht schon kennst): Bei der ersten nimm an, dass $z [mm] \in \IZ$ [/mm] eine Nullstelle ist und setz das ein; du hast dann $p(z) = 0$. Jetzt loest du nach dem konstanten Term auf, und auf der anderen Seite der Gleichung kannst du $z$ ausklammern.
Bei der zweiten Nimmst du an, $p/q$ ist eine Nullstelle, wobei $p, q$ teilerfremd seien. Das setzt du ein (ist ja $0$) und multiplizierst mit [mm] $q^n$ [/mm] durch (wobei $n$ die hoechste auftretende Potenz von $x$ ist). Also kannst du [mm] $p^n [/mm] = ...$ schreiben, wobei du in $...$ einmal $q$ ausklammern kannst.
Wenn $q$ jetzt einen Primfaktor $P$ haette, so gilt also $P [mm] \mid [/mm] q$ und $P [mm] \mid p^n$, [/mm] und da $P$ prim ist $P [mm] \mid [/mm] p$. Damit waeren $p, q$ aber nicht teilerfremd. Also muss $q = [mm] \pm [/mm] 1$ sein, da $q$ durch keine Primzahl geteilt wird.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 21.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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