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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Potus |
| Aufgabe | Betrachte [mm] \IR-Vektorraum \IR^3 [/mm] mit Standardskalarprodukt und Standardbasis [mm] e_1, e_2, e_3.
[/mm]
Drehung um [mm] e_1 [/mm] um Winkel [mm] \phi [/mm] hat darstellende Matrix
[mm] M_(\phi)^x=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&cos\phi&-sin\phi\\0&sin\phi&cos\phi
\end{pmatrix}
[/mm]
und analog um [mm] e_3 [/mm] um Winkel [mm] \psi
[/mm]
[mm] M_(\psi)^z=\begin{pmatrix}cos\psi&-sin\psi&0\\sin\psi&cos\psi&0\\0&0&1
\end{pmatrix}
[/mm]
Sein nun [mm] D:\IR^3->\IR^3 [/mm] eine beliebige Drehung und [mm] M_D [/mm] die darstellende Matrix von D. Beachte: Es gilt det [mm] M_D=1, [/mm] da D eine Drehung. Zeigen Sie:
(1) Es gilt [mm] M_D*e_3=M_(\psi)^z*M_(\phi)^x*e_3 [/mm] für geeignete Winkel
[mm] \phi\in\ [0,\pi] [/mm] und [mm] \psi\in\ [0,2\pi[.
[/mm]
(2) Folgern Sie daraus, dass für geeignete Winkel [mm] \phi2\in\ [0,\pi] [/mm] und [mm] \psi,\theta\in\ [0,2\pi[ [/mm] gilt [mm] M_D=M_(\psi)^z*M_(\phi)^x*M_(\theta)^z.
[/mm]
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Zu (1) Ich habe bereits die rechte Seite der Gleichung ausgerechnet:
[mm] \begin{pmatrix}cos\psi&-sin\psi*cos\phi&sin\psi*sin\phi\\sin\psi&cos\psi*cos\phi&-cos\psi*sin\phi\\0&sin\phi&cos\phi
\end{pmatrix}*e_3=\begin{pmatrix}sin\psi*sin\phi\\-cos\psi*sin\phi\\cos\phi\end{pmatrix}
[/mm]
Meine erste Frage ist nun: Wie beweise ich dass dies für die allgemeine Drehung (linke Seite) gelten muss?
Was bedeutet diese Aussage überhaupt anschaulich?
Zu (2) Es ist schwer hier etwas zu sagen ohne, dass man die (1)
gelöst bzw. verstanden hat. Dass dies etwas mit den Euler-Winkeln zu tun hat weiß ich aber schon.
Und was bedeutet "geeignete Winkel"?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=121892]
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Hallo,
> Betrachte [mm]\IR-Vektorraum \IR^3[/mm] mit Standardskalarprodukt
> und Standardbasis [mm]e_1, e_2, e_3.[/mm]
> Drehung um [mm]e_1[/mm] um Winkel
> [mm]\phi[/mm] hat darstellende Matrix
>
> [mm]M_(\phi)^x=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&cos\phi&-sin\phi\\0&sin\phi&cos\phi
\end{pmatrix}[/mm]
> und analog um [mm]e_3[/mm] um Winkel [mm]\psi[/mm]
>
> [mm]M_(\psi)^z=\begin{pmatrix}cos\psi&-sin\psi&0\\sin\psi&cos\psi&0\\0&0&1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Sein nun [mm]D:\IR^3->\IR^3[/mm] eine beliebige Drehung und [mm]M_D[/mm] die
> darstellende Matrix von D. Beachte: Es gilt det [mm]M_D=1,[/mm] da D
> eine Drehung. Zeigen Sie:
> (1) Es gilt [mm]M_D*e_3=M_(\psi)^z*M_(\phi)^x*e_3[/mm] für
> geeignete Winkel
> [mm]\phi\in\ [0,\pi][/mm] und [mm]\psi\in\ [0,2\pi[.[/mm]
> (2) Folgern Sie
> daraus, dass für geeignete Winkel [mm]\phi2\in\ [0,\pi][/mm] und
> [mm]\psi,\theta\in\ [0,2\pi[[/mm] gilt
> [mm]M_D=M_(\psi)^z*M_(\phi)^x*M_(\theta)^z.[/mm]
>
> Zu (1) Ich habe bereits die rechte Seite der Gleichung
> ausgerechnet:
>
> [mm]\begin{pmatrix}cos\psi&-sin\psi*cos\phi&sin\psi*sin\phi\\sin\psi&cos\psi*cos\phi&-cos\psi*sin\phi\\0&sin\phi&cos\phi
\end{pmatrix}*e_3=\begin{pmatrix}sin\psi*sin\phi\\-cos\psi*sin\phi\\cos\phi\end{pmatrix}[/mm]
>
> Meine erste Frage ist nun: Wie beweise ich dass dies für
> die allgemeine Drehung (linke Seite) gelten muss?
> Was bedeutet diese Aussage überhaupt anschaulich?
Bei einer Drehung ändert sich ja die Länge nicht. Wenn also [mm]\vec x \in \IR^3 [/mm] der
Ortsvektor eines Punktes ist, dann liegt der Punkt, der den gedrehten Vektor [mm] \vec x[/mm] beschreibt, auf einer
Kugel mit dem Mittelpunkt [mm] (0,0,0)[/mm] und Radius [mm] \sqrt{| \vec x \dot \vec x|)[/mm].
Jetzt ist ja jede Drehung im [mm] \IR^3 [/mm] durch Hintereinanderausführen von Drehungen um [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] zu erreichen. Um den Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] um [mm] e_2 [/mm] zu drehen, braucht man ja nur die Drehungen um [mm] e_1, e_3 [/mm] (denn dabei bleibt die 2. Koordinate im gedrehten Vektor unverändert!). Die zugehörige Matrix wäre dann
[mm] \pmat{\cos{\phi} & 0 & -\sin{\phi} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin{\phi} & 0 \cos{\phi} }[/mm].
Diese Matrix erhältst Du aber, indem Du in einer der Drehungsmatrizen Spalten und Zeilen 1,2 (bzw. 2,3)
vertauschst.
Vielleicht hilfts ja weiter 
Gruß
Thomas
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