Drehung um eine Achse im Raum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mi 11.01.2012 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe | Eine lineare Selbstabbildung [mm] \IR^3->\IR^3 [/mm] wird beschrieben durch eine Drehung um 135° um die Achse die der Vektor d= [mm] \vektor{1\\ 1 \\ 1} [/mm] vorgibt
a) Geben Sie einen Einheitsvektor d0 an, der auf der Drehachse liegt. Konstruieren Sie
anschließend eine Orthonormalbasis B, deren 1. Vektor durch d0 gegeben wird.
b) Wie lautet die Matrix D, die der Abbildung [mm] \gamma [/mm] hinsichtlich der Orthonormalbasis B zugeordnet ist? |
a)
Ist d0=1/3 * d ?
Kann ich für den zweiten Vektor der Basis einen x-beliebigen Vektor der Länge 1 nehmen und anschliessend aus den beiden Vektoren mittels Kreuzprodukt den Dritten errechnen ?
Bei Aufgabe b bitte ich um einen Denkanstoß
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> Eine lineare Selbstabbildung [mm]\IR^3->\IR^3[/mm] wird beschrieben
> durch eine Drehung um 135° um die Achse die der Vektor d=
> [mm]\vektor{1\\ 1 \\ 1}[/mm] vorgibt
>
> a) Geben Sie einen Einheitsvektor d0 an, der auf der
> Drehachse liegt. Konstruieren Sie
> anschließend eine Orthonormalbasis B, deren 1. Vektor
> durch d0 gegeben wird.
>
>
> b) Wie lautet die Matrix D, die der Abbildung [mm]\gamma[/mm]
> hinsichtlich der Orthonormalbasis B zugeordnet ist?
> a)
>
> Ist d0=1/3 * d ?
Nein. Du musst den Vektor d durch seinen Betrag dividieren,
und dieser ist nicht gleich 3.
> Kann ich für den zweiten Vektor der Basis einen
> x-beliebigen Vektor der Länge 1 nehmen und anschliessend
> aus den beiden Vektoren mittels Kreuzprodukt den Dritten
> errechnen ?
Nein. Schon der zweite Vektor muss senkrecht auf d0 bzw.
auf d stehen. Den dritten erhält man dann via Vektorprodukt.
> Bei Aufgabe b bitte ich um einen Denkanstoß
Bezüglich der Basis B hat die Drehung eine einfache Matrix,
welche eine 1, vier Nullen, zweimal den Wert cos(135°),
einmal den Wert sin(135°) und einmal den Wert -sin(135°)
enthält. Diese trigonometrischen Werte lassen sich übrigens
leicht mittels eines Wurzelausdrucks schreiben.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 05.02.2012 | | Autor: | tomtom10 |
danke, soweit habe ichs verstanden.
Wie eine einfache Drehmatrix im [mm] \IR^3 [/mm] aussieht weiss ich. Ist die Spalte mit den 2 nullen und der eins (für die Drehachse) davon abhängig, an welcher position ich d0 als Spaltenvektor der Basis angebe ?
als angenommen: Basis B = {d1,d0,d2}
Ist dann die Drehmatrix [mm] \pmat{cos & 0 & -sin \\ 0 & 1 & 0 \\ sin & 0 & cos} [/mm] ?? (135° müsste ich dann erst mit Additionstheoremen berechnen)
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Hallo tomtom10,
> danke, soweit habe ichs verstanden.
> Wie eine einfache Drehmatrix im [mm]\IR^3[/mm] aussieht weiss ich.
> Ist die Spalte mit den 2 nullen und der eins (für die
> Drehachse) davon abhängig, an welcher position ich d0 als
> Spaltenvektor der Basis angebe ?
>
> als angenommen: Basis B = {d1,d0,d2}
> Ist dann die Drehmatrix [mm]\pmat{cos & 0 & -sin \\ 0 & 1 & 0 \\ sin & 0 & cos}[/mm]
> ?? (135° müsste ich dann erst mit Additionstheoremen
Ja.
> berechnen)
>
Gruss
MathePower
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