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| Aufgabe | Koordinatensystem: [mm]b_1= \vektor{1\\1\\-2}[/mm] [mm]b_2= \vektor{1\\1\\1}[/mm] [mm]b_3= \vektor{1\\-1\\0}[/mm] Drehachse: [mm]b_2[/mm]
Geben Sie drei Matrizen an, deren Produkt eine Drehung im [mm]\IR^3[/mm] zn deb Winkel [mm]45 ^\circ[/mm] mit der Drehachse [mm]b_2[/mm] beschreibt. Benutzen Sie als Ausgangspunkt ihrer Überlegungen die Basis [mm]b_1,b_2,b_3[/mm]. |
Hallo,
könnte jemand mal Korregieren und ggf. Tipps abgeben?
Meine bisherige Lösung:
Das Koordinatensystem ist schoneinmal Orthogonal.
Ich soll zu dem Problem ein passendes Koordinatensystem bauen, die gewünschte Operation ausführen und wieder umrechenen. So habe ich das auf jeden Fall verstanden.
Also neues Koordiantensystem! Da wie oben geschrieben Orthogonal muss ich es nur noch Normalisieren.
[mm]k_1 = \frac{1}{ \left\vert b_1 \right\vert}b_1 = \frac{1}{ \left\vert \vektor{1 \\ 1\\-2} \right\vert} \vektor{1 \\ 1\\} = \frac{1}{ \sqrt{6} } \vektor{1 \\ 1\\-2}[/mm]
[mm]k_2 = \frac{1}{ \left\vert b_3 \right\vert}b_3 = \frac{1}{ \left\vert \vektor{1 \\ -1\\0} \right\vert} \vektor{1 \\ -1\\0} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \vektor{1 \\ -1\\0}[/mm]
[mm]k_3 = \frac{1}{ \left\vert b_2 \right\vert}b_2 = \frac{1}{ \left\vert \vektor{1 \\ 1\\1} \right\vert} \vektor{1 \\ 1\\1} = \frac{1}{ \sqrt{3} } \vektor{1 \\ 1\\1}[/mm]
Da Orthogonal ist die Inverse = die Transformierte Matrix.
[mm]B= k_1,k_2,k_3 = \pmat{ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1} {\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}} [/mm] [mm]B^t= \pmat{ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1} {\sqrt{2}} & -\frac{1} {\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}} } [/mm]
[mm]G = \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha & 0\\sin\alpha & cos\alpha & 0\\0&0&1} [/mm]
Damit wären die geforderten drei Matrizen doch gegeben, oder?
[mm]B*G*B^t[/mm]
Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Jetzt noch eine Frage! Wie kann ich die Richtung der Drehung beeinflussen?
Gruß redenwirmaldarüber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Do 27.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe keinen Fehler
Gruss leduart
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