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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 So 05.02.2012 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe | Durch folgende Matrix wird hinsichtlich der kanonischen Basis des reellen Vektorraums [mm] \IR^3 [/mm] eine drehung [mm] \delta: \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] gegeben:
[mm] D=\pmat{\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & 0 & -\bruch{1}{2}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2}}
[/mm]
a) Berechnen sie die Drehachse dieser Drehung.
b) Konstruieren sie eine Orthonormalbasis [mm] N={n_{1},n_{2},n_{3}} [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] so, dass der Vektor [mm] n_{1} [/mm] auf der Drehachse der Drehung [mm] \delta [/mm] liegt |
Bitte um einen kleinen Denkanstoß, finde den Ansatz nicht, danke
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> Durch folgende Matrix wird hinsichtlich der kanonischen
> Basis des reellen Vektorraums [mm]\IR^3[/mm] eine drehung [mm]\delta: \IR^3[/mm]
> -> [mm]\IR^3[/mm] gegeben:
>
>
> [mm]D=\pmat{\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2}\wurzel{2} & 0 & -\bruch{1}{2}\wurzel{2} \\
\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> a) Berechnen sie die Drehachse dieser Drehung.
> b) Konstruieren sie eine Orthonormalbasis
> [mm]N={n_{1},n_{2},n_{3}}[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] so, dass der Vektor [mm]n_{1}[/mm]
> auf der Drehachse der Drehung [mm]\delta[/mm] liegt
> Bitte um einen kleinen Denkanstoß, finde den Ansatz
> nicht, danke
Hallo,
die Drehachse bleibt doch bei der Drehung erhalten. Sie ist also ein Eigenvektor. (Zu welchem Eigenwert?)
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 05.02.2012 | | Autor: | tomtom10 |
Vielen Dan k!!
Das ergibt eine Rechnerei, bei der man sich leicht vertun kann ^^
Ist das eine Sache, die man generell auch ablesen kann oder sollte man da vorsichtig sein ?
Das charackteristische Polynom ist bei mir: [mm] t^3-t^2-t+1
[/mm]
das ist nur für x=1 0
Eigenraum:
(i): [mm] -\bruch{1}{2}x_{1}-\bruch{1}{2}*\wurzel{2}x_{2}+\bruch{1}{2}=0
[/mm]
(ii): [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}x_{1}-x2-\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0
[/mm]
(iii): [mm] \bruch{1}{2}x_{1}+\bruch{1}{2}*\wurzel{2}x_{2}-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
(i)+(iii)-> 0=0
[mm] (i)*\wurzel{2} [/mm] + (ii) -> [mm] -x_{2}=0
[/mm]
(i): [mm] \bruch{1}{2}x_1=\bruch{1}{2}x_2
[/mm]
somit wäre der Eigenvektor bzw die Drehachse: [mm] c*\vektor{1 \\ 0 \\ 1} \forall [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] (?)
b) wäre in dem fall:
n1: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
n2: [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0} [/mm] , da n1*n2=0
[mm] n3=n1xn2=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
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> Vielen Dan k!!
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> Das ergibt eine Rechnerei, bei der man sich leicht vertun
> kann ^^
> Ist das eine Sache, die man generell auch ablesen kann
> oder sollte man da vorsichtig sein ?
>
> Das charackteristische Polynom ist bei mir: [mm]t^3-t^2-t+1[/mm]
> das ist nur für x=1 0
>
> Eigenraum:
>
> (i):
> [mm]-\bruch{1}{2}x_{1}-\bruch{1}{2}*\wurzel{2}x_{2}+\bruch{1}{2}=0[/mm]
> (ii):
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}x_{1}-x2-\bruch{1}{2}\wurzel{2}=0[/mm]
> (iii):
> [mm]\bruch{1}{2}x_{1}+\bruch{1}{2}*\wurzel{2}x_{2}-\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
>
> (i)+(iii)-> 0=0
> [mm](i)*\wurzel{2}[/mm] + (ii) -> [mm]-x_{2}=0[/mm]
>
> (i): [mm]\bruch{1}{2}x_1=\bruch{1}{2}x_2[/mm]
>
>
> somit wäre der Eigenvektor bzw die Drehachse: [mm]c*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\quad \forall\ c \in \IR[/mm] (?) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> b) wäre in dem fall:
>
> n1: [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> n2:
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0}[/mm] , da n1*n2=0
> [mm]n3=n1\times n2=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Das kannst du so machen.
LG
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