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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Di 05.10.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Ich habe einen Endomorphismus gegeben [mm] \phi: \IR^{3}--> \IR^{3} [/mm] und dieser ist bezüglich einer Orthonormalbasis B gegeben
[mm] \phi [/mm] <-B-> A= [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0& \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 & -1 &0\\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&\bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
i) Ist [mm] \phi [/mm] eine orthogonale Abbildung?
ii) Stelle [mm] \phi [/mm] als Hintereinanderschaltung einer Spiegelung mit einer Drehung und bestimme den Cosinus des Drehwinkels und die Ebene, an der gespiegelt wird. |
i) Ja, kann ich schnell mit [mm] AA^{T}=E \gdw [/mm] A orthogonal beweisen
ii) den Drehwinel bekomme ich mit [mm] SpurA=1+2cos(\alpha) [/mm] raus
die drehebene müsste durch die 2 Eigenvektoren zum Eigenwert 1 aufgespannt werden, oder ? ich hatte das problem dass ich die eigenvektoren nicht raus bekommen habe:
[mm] (A-1E)*\vec{x}=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}}-1 & 0& \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 & -2 &0\\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&\bruch{1}{\wurzel{2}}-1} [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}}= \vektor{0 \\ 0\\0}
[/mm]
Und ich weiß nicht wie ich aus einer spiegelung und einer drehung A machen kann. Also wie ich eine hintereinanderschaltung bastel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Di 05.10.2010 | | Autor: | wauwau |
da det(A)=-1 ist A keine reine Drehmatrix daher hat A keinen Eigenwert 1 usw...
Du musst zuerst die Spiegelung "rausrechnen"
dh. B so bestimmen, dass [mm] $A=B*\pmat{ 1 & 0& 0 \\ 0&-1&0 \\0&0&1 }$
[/mm]
dann ist B deine Drehmatrix und dann kannst du deine Formeln (spur,...) anwenden
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