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| Aufgabe | Gegeben seien folgende, reelle Matrizen:
A1 = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
A2 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
A3= [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
A4= [mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0 &\bruch{-1}{2} \\ 0 & 1 & 0\\ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{\wurzel{3}}{2} }
[/mm]
Beschreiben Sie jeweils, welche geometrische Operation durch x [mm] \mapsto A_{i}x [/mm] bewirkt wird und illustrieren
Sie dies durch geeignete Skizzen. |
A1= [mm] \pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
= [mm] \pmat{ -cos(135) & sin(45) \\ -sin(45) & -cos(135) }
[/mm]
wie dreht sich jetzt die matrix? um 135 grad oder 45 grad?
wie skizziert man sowas?
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Hi,
nur ein kleiner Tipp:
du könntest dir mal die Achsen, bzw die Standardbasen im [mm] \IR^2 [/mm] hernehmen und mit der Matrix multiplizieren. In welche Richtung schauen dann also die Vektoren [mm] e_1=(1,0) [/mm] und [mm] e_2=(0,1) [/mm] ?
Dementsprechend könntest du es dann auch skizzieren.
P.S.: Ein "Hallo" erleichtert manchmal einfach die Kommunikation und wirkt auch sehr freundlich. Ähnlich auch sowas wie: "Danke für eure Antworten" oder einfach nur "Danke."
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ich soll die matrix mit den einheitsvektoren multiplizieren?
A1= [mm] \pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} }*\vektor{1 \\ 0}= \vektor{\bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
sowas lässt sich ja schlecht zeichnen und die längen ändern sich. die längen sollten sich aber nicht verändern. die vektoren sollten sich nur drehen
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Dann schreibe ich halt so wie du:
vektoren kann man zeichnen.
du sollst nur sagen, wie sich das koordinatensystem geometrisch ändert.
ich habe nur eine mglk. genannt, wie man an die aufgabe mal rangehen könnte.
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ich habe mich geirrt. die länge ändert sich nicht:
A1 dreht sich um 45 grad im den uhrzeiger sinn
A2 dreht sich um 60 grad im uhrzeigersinn
A3 kann es sein das A3 keine drehmatrix ist? weil [mm] sin^{-1}(2)=error
[/mm]
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> ich habe mich geirrt. die länge ändert sich nicht:
>
> A1 dreht sich um 45 grad im den uhrzeiger sinn
Hallo,
[mm] A_1 [/mm] dreht sich gar nicht.
Die Matrix beschreibt eine Drehung um -45°.
>
> A2 dreht sich um 60 grad im uhrzeigersinn
Nein.
Was hast Du dafür gerechnet?
>
> A3 kann es sein das A3 keine drehmatrix ist?
Ja.
Behauptet ja auch keiner in der Aufgabenstellung, daß nur Drehmatrizen vorkommen.
LG Angela
> weil
> [mm]sin^{-1}(2)=error[/mm]
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> > A2 dreht sich um 60 grad im uhrzeigersinn
>
> Nein.
> Was hast Du dafür gerechnet?
A2 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & - \bruch{\wurzel{2}}{2} }
[/mm]
[mm] \pmat{ cos(45) & sin(45) \\ sin(45) & -cos45 }
[/mm]
A2 hat einen drehsinn um -45 grad
wenn A2 so wäre:
[mm] \pmat{ -cos(45) & sin(45) \\ sin(45) & cos45 }
[/mm]
dann hätte es einen positiven drehsinn oder?
A4 hat einen drehsinn von 30 grad um die y achse
A4= [mm] \pmat{ cos (30)& 0 & -sin(30) \\ 0 & 1 & 0\\ sin(30) & 0 & cos(30) }
[/mm]
ist das so richtig?
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> A2 = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & - \bruch{\wurzel{2}}{2} }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ cos(45) & sin(45) \\ sin(45) & -cos45 }[/mm]
>
> A2 hat einen drehsinn um -45 grad
Hallo,
nein. Eine Matrix hat keinen Drehsinn.
Du möchtest sicher sagen: die Matrix beschreibt eine Drehung um -45°.
Bloß das stimmt leider nicht.
Ich denke, es wäre sinnvoll, wenn Du uns mal sagst, was Du darüber gelernt hast, wie Drehmatrizen im [mm] \IR^2 [/mm] aussehen.
Dann können wir [mm] A_2 [/mm] nämlich mal damit vergleichen - und wir werden feststellen:
[mm] A_2 [/mm] beschreibt keine Drehung.
>
> wenn A2 so wäre:
>
> [mm]\pmat{ -cos(45) & sin(45) \\ sin(45) & cos45 }[/mm]
>
> dann hätte es einen positiven drehsinn oder?
Dies ist auch keine Drehmatrix.
> A4 hat einen drehsinn von 30 grad um die y achse
>
> A4= [mm]\pmat{ cos (30)& 0 & -sin(30) \\ 0 & 1 & 0\\ sin(30) & 0 & cos(30) }[/mm]
Sie beschreibt eine Drehung um -30° um die y-Achse.
Ich jedenfalls hab' mal gelernt, daß die Matrizen für Drehungen um [mm] \alpha [/mm] um die y-Achse so aussehen:
[mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}
[/mm]
LG Angela.
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A2 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & - \bruch{\wurzel{2}}{2} }
[/mm]
A2 ist eine spiegelung. spielt bei einer spiegelung der winkel eine rolle?
A3= [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
ich glaube A3 ist auch eine drehmatrix
kann man einen faktor vor der matrix hinzufügen?
also: 2 [mm] \pmat{ 0,5 & -1 \\ 1 & 0,5 }
[/mm]
dann würde die matrix eine drehung um 90 grad gegen den uhrzeigersinn beschreiben oder kann man das so nicht machen?
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> A2 = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & - \bruch{\wurzel{2}}{2} }[/mm]
>
> A2 ist eine spiegelung. spielt bei einer spiegelung der
> winkel eine rolle?
Hallo,
ja. Man interessert sich ja dafür, woran man spiegelt.
[mm] \alpha/2 [/mm] ist der Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.
>
>
> A3= [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 2 & 1 }[/mm]
>
> ich glaube A3 ist auch eine drehmatrix
Ich "glaube" das nicht.
Wie sehen denn Drehmatrizen aus? Paßt das hier?
>
> kann man einen faktor vor der matrix hinzufügen?
>
> also: 2 [mm]\pmat{ 0,5 & -1 \\ 1 & 0,5 }[/mm]
Du fragst, ob [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 2 & 1 }=2[/mm] [mm]\pmat{ 0,5 & -1 \\ 1 & 0,5 }[/mm]?
Ja.
>
> dann würde die matrix eine drehung um 90 grad gegen den
> uhrzeigersinn beschreiben oder kann man das so nicht
> machen?
Zu einer 90°-Drehung scheinen mir weder die Einträge der Matrix zu passen noch die 2 davor...
Die Idee mit dem Herausziehen eines Faktors ist aber nicht so übel.
Du kannst [mm] \wurzel{5} [/mm] herausziehen.
Dann behältst Du eine Drehmatrix, insgesamt hast Du eine Drehstreckung. Das ist keine Drehung!
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mo 02.12.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
> > A4 hat einen drehsinn von 30 grad um die y achse
> >
> > A4= [mm]\pmat{ cos (30)& 0 & -sin(30) \\ 0 & 1 & 0\\ sin(30) & 0 & cos(30) }[/mm]
>
>
> Sie beschreibt eine Drehung um -30° um die y-Achse.
> Ich jedenfalls hab' mal gelernt, daß die Matrizen für
> Drehungen um [mm]\alpha[/mm] um die y-Achse so aussehen:
>
> [mm]\begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}[/mm]
ich GLAUBE das stimmt nicht. A4 beschreibt eine drehung um 30 (nicht -30) um die y achse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 So 01.12.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
> > A2 dreht sich um 60 grad im uhrzeigersinn
>
> Nein.
> Was hast Du dafür gerechnet?
A2 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & - \bruch{\wurzel{2}}{2} }
[/mm]
[mm] \pmat{ cos(45) & sin(45) \\ sin(45) & -cos(45) }
[/mm]
A2 hat einen drehsinn um -45 grad
wenn A2 so wäre:
[mm] \pmat{ -cos(45) & sin(45) \\ sin(45) & cos(45) }
[/mm]
dann hätte es einen positiven drehsinn oder?
A4 hat einen drehsinn von 30 grad um die y achse
A4= [mm] \pmat{ cos (30)& 0 & -sin(30) \\ 0 & 1 & 0\\ sin(30) & 0 & cos(30) }
[/mm]
ist das so richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 So 01.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo arbeitsamt,
bitte stelle jede Frage nur einmal.
Gruß, Diophant
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