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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Do 08.02.2007 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | Die Funktion f ist gegeben durch
[mm] f(x)=4*\wurzel{x}*e^{-\bruch{1}{2}*x} [/mm] ; x>0.
Ihr Schaubild sei K.
a) Die Kurve K, die Gerade x=9 und die x-Achse begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche mit dem Inhalt A.
Um A abzuschätzen, betrachtet man die Funktion g mit
[mm] g(x)=(\bruch{2}{3}*x+6)*e^{-\bruch{1}{2}*x} [/mm] ; x>0.
Zeigen Sie: Für [mm] x\ge0 [/mm] gilt [mm] g(x)\gef(x) [/mm] .
Bestimmen Sie mithilfe von g eine obere Schranke für A.
b)Die Kurve K, die Gerade x=u mit u>0 und die x-Achse im Intervall [0;u] schließen eine Fläche ein, die um die x-Achse rotiert.
Berechnen Sie das Volumen V(u) des Drehkörpers.
Bestimmen Sie [mm] V=\limes_{u\rightarrow\infty} [/mm] V(u)
Zeigen Sie, dass es ein [mm] u_{0} [/mm] mit [mm] 1,6 |
Hallo, also irgendwie hänge ich gerade bei dieser Aufgabe.
Die b habe ich schon mal angefangen, hier fehlt mir nur noch der kleinere Teil, deshalb fang ich hier erst mal an.
Als V(u) habe ich gerechnet:
[mm] V(u)=\pi*\integral_{0}^{u}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{16*\pi*(e^{u}-u-1)}{e^{u}}
[/mm]
Stimmt das so oder habe ich schon hier Fehler eingebaut?
Aber ab jetzt hänge ich. Mir fehlt noch der Teil mit 1,6<u<1,7. Ich habe versucht, mit u=1,65 zu rechnen, aber da kommt nur ungefähr 24,68 heraus und woher weiß ich, ob das jetzt [mm] \bruch{1}{2}V [/mm] ist? Ich habe keine Vergleichswerte von vorher.
Und jetzt zur a):
Wenn ich hier ein Integral ansetze von f(x) mit den Grenzen 0 und 9, kommt bei mir aber keiner ins unendlich reichende Fläche heraus, sondern igrendwas mit 9,??. Und ich weiß nicht, was es mir hilft, wenn sie mir da g(x) als zweite FUnktion noch anbieten...
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? 
Liebe Grüße, Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 Fr 09.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die Funktion f ist gegeben durch
> [mm]f(x)=4*\wurzel{x}*e^{-\bruch{1}{2}*x}[/mm] ; x>0.
> Ihr Schaubild sei K.
>
> a) Die Kurve K, die Gerade x=9 und die x-Achse begrenzen
> eine ins Unendliche reichende Fläche mit dem Inhalt A.
> Um A abzuschätzen, betrachtet man die Funktion g mit
> [mm]g(x)=(\bruch{2}{3}*x+6)*e^{-\bruch{1}{2}*x}[/mm] ; x>0.
>
> Zeigen Sie: Für [mm]x\ge0[/mm] gilt [mm]g(x)\gef(x)[/mm] .
> Bestimmen Sie mithilfe von g eine obere Schranke für A.
>
> b)Die Kurve K, die Gerade x=u mit u>0 und die x-Achse im
> Intervall [0;u] schließen eine Fläche ein, die um die
> x-Achse rotiert.
> Berechnen Sie das Volumen V(u) des Drehkörpers.
> Bestimmen Sie [mm]V=\limes_{u\rightarrow\infty}[/mm] V(u)
>
> Zeigen Sie, dass es ein [mm]u_{0}[/mm] mit [mm]1,6
> das [mm]V(u_{0})=\bruch{1}{2}V[/mm] ist.
> Hallo, also irgendwie hänge ich gerade bei dieser
> Aufgabe.
> Die b habe ich schon mal angefangen, hier fehlt mir nur
> noch der kleinere Teil, deshalb fang ich hier erst mal an.
> Als V(u) habe ich gerechnet:
> [mm]V(u)=\pi*\integral_{0}^{u}{f(x) dx}[/mm]
ich hoffe, du hast im Integral [mm] f^2(x) [/mm] stehen!
> [mm]=\bruch{16*\pi*(e^{u}-u-1)}{e^{u}}[/mm]
> Stimmt das so oder habe ich schon hier Fehler eingebaut?
> Aber ab jetzt hänge ich. Mir fehlt noch der Teil mit
> 1,6<u<1,7. Ich habe versucht, mit u=1,65 zu rechnen, aber
> da kommt nur ungefähr 24,68 heraus und woher weiß ich, ob
> das jetzt [mm]\bruch{1}{2}V[/mm] ist? Ich habe keine Vergleichswerte
> von vorher.
1. sollst du den Grenzwert fuer u gegen [mm] \infty [/mm] ausrechnen.
2, rechne V(1,6) aus, rechne V(1,7 aus. Das eine ist kleiner, das andere groesser als [mm] 0,5V(\infty) [/mm] Da V(u) stetig ist, muss es dazwischen irgendwo genau 0,5V sein.
Zu a) du sollst die Flaeche zw. 9 und [mm] \infty [/mm] ausrechnen.
ich habs nicht nachgeprueft, aber wahrscheinlich kannst du das Integral nicht exakt ausrechnen, deshalb durch die flaeche unter g abschaetzen.
Gruss leduard
> Und jetzt zur a):
> Wenn ich hier ein Integral ansetze von f(x) mit den
> Grenzen 0 und 9, kommt bei mir aber keiner ins unendlich
> reichende Fläche heraus, sondern igrendwas mit 9,??. Und
> ich weiß nicht, was es mir hilft, wenn sie mir da g(x) als
> zweite FUnktion noch anbieten...
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>
> Liebe Grüße, Pure
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