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| Aufgabe | | Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von maximaler Oberfläche |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe es geschafft die Gleichung aufzustellen mit Nebenbedingung:
O = r²*pi +r*pi*s (s..Mantellinie)
s² = (rk + h)² +r² Gl1 (rk...radius kugel)
h = sqrt(rk²-r²) Gl2 in eins einsetzen
> s =sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)
O = r²*pi +r*pi*sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)
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So jetzt müsste man noch einmal nach r ableiten , die dann 0 setzen und dann auf r umformen ....hört sich einfach an... ich schaff es aber einfach nicht
Gibt es Lösungs ansätze
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Do 21.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen
> eingeschriebenen Drehkegel von maximaler Oberfläche
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe es geschafft die Gleichung aufzustellen mit
> Nebenbedingung:
> O = r²*pi +r*pi*s (s..Mantellinie)
Das ist soweit ok.
>
> s² = (rk + h)² +r² Gl1 (rk...radius kugel)
Diese gefällt mir ehrlich gesagt nicht, wie kommst du darauf?
> h = sqrt(rk²-r²) Gl2 in eins einsetzen
Wie kommst du denn darauf?
>
> > s =sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)
>
> O = r²*pi +r*pi*sqrt((rk+sqrt(rk²+r²)²)+r²)
> ------------------------------------------------------
> So jetzt müsste man noch einmal nach r ableiten , die
> dann 0 setzen und dann auf r umformen ....hört sich
> einfach an... ich schaff es aber einfach nicht
> Gibt es Lösungs ansätze
>
Du hast doch folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es gilt, im Dreieck AES
[mm] h^{2}+r_{k}^{2}=s^{2}
[/mm]
Und es gilt gilt im Dreieck AME:
[mm] \overline{ME}^{2}=r^{2}+r_{k}^{2}
[/mm]
Außerdem gilt:
[mm] h=\overline{ME}+r
[/mm]
Damit wird aus
[mm] \overline{ME}^{2}=r^{2}+r_{k}^{2}
[/mm]
dann
[mm] (h+r)^{2}=r^{2}+r_{k}^{2}
[/mm]
Und das kannst du umformen:
[mm] (h+r)^{2}=r^{2}+r_{k}^{2}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow h^{2}+2rh+r^{2}=r^{2}+r_{k}^{2}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow h^{2}+2rh=r_{k}^{2}
[/mm]
Das kannst du nun in [mm] h^{2}+r_{k}^{2}=s^{2} [/mm] einsetzen und bekommst:
[mm] h^{2}+h^{2}+2rh=s^{2}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 2h^{2}+2rh=s^{2}
[/mm]
Damit kannst du nun s in der Oberfläche ersetzen:
Aus
[mm] $O=\pi\cdot r_{k}^{2}+2\cdot \pi\cdot r_{k}\cdot [/mm] s $
folgt also:
[mm] $O=\pi\cdot r_{k}^{2}+2\cdot \pi\cdot r_{k}\cdot\sqrt{2h^{2}+2rh} [/mm] $
Leider sehe id da noch keine Möglichkeit, eine zweite Bedingung zwischen [mm] r_{k} [/mm] und h herzustellen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Do 21.01.2016 | | Autor: | weduwe |
mit den Bezeichnungen im Bilderl kommt man für [mm]x=sin\alpha[/mm] auf:
[mm]f(x)=x+x^2-x^3-x^4[/mm]
was für f´(x) auf eine Gleichung 3. Grades führt, von der man 1 Lösung leicht erraten kann.
ich erhalte damit als Lösung [mm]x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}[/mm]
und damit kann man Radius, Höhe und Seitenlinie des gesuchten Kegels bestimmen.
ob´s stimmt, steht in den Sternen oder im Lösungsheft 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Do 21.01.2016 | | Autor: | Fulla |
Hallo weduwe,
könntest du deinen Ansatz bitte ein wenig erläutern?
Ich nehme mal an, dass du mit x den Abstand von B und M bezeichnest...
Hast du R=1 gesetzt? Und mir fehlt da irgendwie ein [mm] $\pi$...
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 21.01.2016 | | Autor: | weduwe |
R fehlt nicht, da es als konstanter Faktor genauso wie [mm] \pi [/mm] "wegfällt", bzw. für die Berechnung des Extremums belanglos ist.
x habe ich bereits oben definiert als [mm]x=sin\alpha[/mm]
ok ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Fr 22.01.2016 | | Autor: | Fulla |
> R fehlt nicht, da es als konstanter Faktor genauso wie [mm]\pi[/mm]
> "wegfällt", bzw. für die Berechnung des Extremums
> belanglos ist.
> x habe ich bereits oben definiert als [mm]x=sin\alpha[/mm]
>
> ok ?
Ja, jetzt ja. Ich hab gestern nur oberflächlich über die Aufgabe drübergeschaut und konnte nicht alles durch den Winkel ausdrücken.
Jetzt komme ich auf dasselbe Polynom (mit Vorfaktor [mm] $4\pi R^2$, [/mm] was erstaunlicherweise genau der Oberfläche der Kugel entspricht).
Lieben Gruß,
Fulla
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