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| Aufgabe | | Sei L [mm] \in [/mm] SO(3) \ {E}. Ein eindimensionaler Vektorraum [mm] \IR*v [/mm] heißt Drehachse von L, falls L*v = v. Zeigen Sie, dass die Drehachse von L eindeutig bestimmt ist. |
Ich hab jetzt mal so angefangen:
L*v = v.
[mm] \Rightarrow [/mm] v ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1
1. Fall:
Der Eigenwert 1 hat die algebraische Vielfachheit 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] Alle Eigenvektoren zum EW 1 liegen in [mm] \IR*v
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Drehachse ist eindeutig.
2. Fall:
Der Eigenwert 1 hat algebraische Vielfachheit 3
[mm] \Rightarrow [/mm] ???
Irgendwie komm ich da nicht weiter, kann mir da jemand helfen? Oder ist der Ansatz schon schlecht??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Di 24.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei L [mm]\in[/mm] SO(3) \ {E}. Ein eindimensionaler Vektorraum
> [mm]\IR*v[/mm] heißt Drehachse von L, falls L*v = v. Zeigen Sie,
> dass die Drehachse von L eindeutig bestimmt ist.
> Ich hab jetzt mal so angefangen:
>
> L*v = v.
> [mm]\Rightarrow[/mm] v ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1
> 1. Fall:
> Der Eigenwert 1 hat die algebraische Vielfachheit 1.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Alle Eigenvektoren zum EW 1 liegen in [mm]\IR*v[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Drehachse ist eindeutig.
Genau.
> 2. Fall:
> Der Eigenwert 1 hat algebraische Vielfachheit 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] ???
Warum gleich 3, warum nicht evtl. 2?
Wenn die Matrix diagonalisierbar waere, kaemst du dann weiter? Wie muesste sie aussehen?
Kann es sein, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist?
LG Felix
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das es 2 ist, habe ich ausgeschlossen, den die determinante ist 1 und somt sind entweder alle 1 oder nur einer und die anderen beiden -1...
aber das mit diagonaliesierbar versteh ich noch nicht ganz...kannst du das nochmal erklären, was du da meinst?
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hm, ok, des mit der vielfachheit stimmt vieleicht doch nicht....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 25.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> das es 2 ist, habe ich ausgeschlossen, den die determinante
> ist 1 und somt sind entweder alle 1 oder nur einer und die
> anderen beiden -1...
Wieso koennen die Eigenwerte denn nur 1 oder -1 sein? Das waere mir neu... (Schonmal eine Drehung um 90 Grad betrachtet?)
Das von dir verwendete Argument ist allerdings prinzipiell schon richtig.
> aber das mit diagonaliesierbar versteh ich noch nicht
> ganz...kannst du das nochmal erklären, was du da meinst?
Weisst du was Diagonalisieren bedeutet?
Und ob/wie man orthogonale (oder unitaere) Matrizen diagonalisieren kann?
LG Felix
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Wie müsste ch das von mir verwendete argument schreiben, dass is korrekt ist?
Was diagonalisieren bedeutet und wie man das macht, weiß ich ja...
allerdings steh ich wohl grad auf dem schlauch und versteh nicht, was das mir bei der aufgabe bringt....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 27.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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