Doppelsummen (grundfrage) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mo 28.02.2005 | | Autor: | MrCoffee |
hallo zusammen mal wieder eine ganz simple Frage.
Bei Doppelsummen verlier ich immer den Durchblick. Es ist für mich kein Problem fertige Rechnungen nachzuvollziehen aber selber erkenne ich meine Möglichkeiten meistens nicht. Gibt es bestimmte Regeln an die ich mich halten kann. Was ich zum Beispiel meine ist wenn aufeinmal sowohl Indizes als auch Summen vertauscht werden . Ich hoffe ich habe mein Problem deutlich gemacht ansonsten kann ich gerne mit Beispielen dienen. Schon mal ganz lieben Dank !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo MrCoffee!
Eine wichtige Regel ist sicherlich die Folgende, und dies ist die Regel, die Stundenten zu Beginn häufig die größten Schwierigkeiten bereitet (in verschiedenen Variationen):
[mm] $\sum\limits_{i=k}^n \sum\limits_{j=i}^n a_{ij} [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=k}^n \sum\limits_{i=k}^j a_{ij}$.
[/mm]
Stell dir eine Matrix vor. Sie hat die Zeilen $k$ bis $n$ und die Spalten $k$ bis $n$.
Bei der ersten Summe summierst du zeilenweise (also jeweils für festes $i$) alle [mm] $a_{ij}$, [/mm] für die $j [mm] \ge [/mm] i$ gilt und addierst dann alle Zeilensummen.
Bei der zweiten Summe summierst du spaltenweise (also jeweils für festes $j$) alle [mm] $a_{ij}$, [/mm] für die $i [mm] \le [/mm] j$ gilt und addierst dann alle Spaltensummen.
Das ist offenbar das Gleiche.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mo 28.02.2005 | | Autor: | calabi-yau |
mir ist deine gleichung etwas suspekt, nicht nur deshalb, da die linke seite n enthält und die rechte nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Di 01.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo calabi-yau
Ich meine die Antwort ist vollkommen ok. Dass das n fehlt ist wahrscheinlich ein Schreibfehler. Und bei einer Summe steht j=i da würde ich zur Übersichtlichkeit das i durch ein p auf beiden Seiten ersetzten ansonsten ist alles ok rechts hast du die Summe der Zeilensummen und links die Summe der Spaltensummen. Was im Grunde genommen nichts anderes ist als die Summe aller einträge einer Matrix. Ich hoffe ich habe alles richtig verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 01.03.2005 | | Autor: | Max |
Die Gleichung die dort aufgestellt wurde ist absolut richtig, ich empfehle dir mal z:b: eine [mm] $10\times [/mm] 10$-Matrix aufzuschreiben und dir die Summen zu verdeutlichen. Es wird dabei sozusagen die Summe über alle $a_ij$ unterhalb der Diagonalen gebildet. Ein Mal spalten-, das andere Mal zeilenweise.
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 01.03.2005 | | Autor: | calabi-yau |
also ich versteh euch gar nicht, ich kann nicht glauben dass das stimmt, die indizes sind total konfus angeordnet. ich kann mit doppelsummen umgehen und hab schon genügend umgeformt, ich kenn das mit erst reihen dann spalten und umgekehrt aufsummieren, aber sowas ist mir noch nicht untergekommen.
wenn ich hier ganz formal z.B. jeweils die summanden der inneren summe nebeneinander anordne, dann die summanden der äußeren untereinander, dann komme ich auf die (konfuse) matrix (die a lasse ich weg und schreibe nur die indizes):
[mm] \pmat{ k,k & k,k+1 & ... & k,m \\ k+1,k+1 & k+1,k+2 & ... & k+1,m \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ n,n & n,n+1 & ... & n,m }
[/mm]
bei rechter doppelsumme hierauf:
[mm] \pmat{ k,k & k+1,k & ... & kk \\ k,k+1 & k+1,k+1 & ... & k+1,k+1 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ k,m & k+1,m & ... & m,m }
[/mm]
das ist total wirr, wollt ihr sagen das stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, "total wirr" war das zwar nicht, aber ich hatte mich verschrieben und habe es jetzt verbessert, so dass es jetzt stimmt. Vielen Dank für den Hinweis.
Viele Grüße
Julius
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sorry aber ich komm immer noch nicht auf die gleichheit, es sei denn folgende matrizen sind gleich. wenn ja, warum?
[mm] \pmat{ k,k & k,k+1 & ... & k,n \\ k+1,k+1 & k+1,k+2 & ... & k+1,n \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ n,n & n,n+1 & ... & n,n }
[/mm]
[mm] \pmat{ k,k & k+1,k & ... & k,k \\ k,k+1 & k+1,k+1 & ... & k+1,k+1 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ k,n & k+1,n & ... & n,n }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Do 03.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das mit den Matrizen hast du leider nicht so ganz verstanden. Ich könnte jetzt wie du auch was von "wirr" schreiben, aber das unterlasse ich mal. Wie ich schon sagte, habe viele Probleme zu Beginn ihres Studiums damit.
Es geht nicht darum, dass zwei komplette Matrizen gleich sind, sondern in welcher Reihenfolge man gewisse Matrixeinträge addiert.
An einem Beispiel sollte die Gleichheit aber klar werden:
$n=10$, $k=5$:
[mm] $\sum\limits_{i=5}^{10}\sum\limits_{j=i}^{10} a_{ij}$
[/mm]
$= [mm] a_{55} [/mm] + [mm] a_{56} [/mm] + [mm] a_{57} [/mm] + [mm] a_{58} [/mm] + [mm] a_{59} [/mm] + [mm] a_{5,10}$
[/mm]
$+ [mm] a_{66} [/mm] + [mm] a_{67} [/mm] + [mm] a_{68} [/mm] + [mm] a_{69} [/mm] + [mm] a_{6,10}$
[/mm]
[mm] $+a_{77} [/mm] + [mm] a_{78} [/mm] + [mm] a_{79} [/mm] + [mm] a_{7,10}$
[/mm]
[mm] $+a_{88} [/mm] + [mm] a_{89} [/mm] + [mm] a_{8,10}$
[/mm]
[mm] $+a_{9,9} [/mm] + [mm] a_{9,10}$
[/mm]
$+ [mm] a_{10,10}$ [/mm]
und
[mm] $\sum\limits_{j=5}^{10}\sum\limits_{i=5}^{j} a_{ij}$
[/mm]
$= [mm] a_{55}$
[/mm]
$+ [mm] a_{56} [/mm] + [mm] a_{66}$
[/mm]
[mm] $+a_{57} [/mm] + [mm] a_{67} [/mm] + [mm] a_{77}$
[/mm]
[mm] $+a_{58} [/mm] + [mm] a_{68} [/mm] + [mm] a_{78} [/mm] + [mm] a_{88}$
[/mm]
[mm] $+a_{59} [/mm] + [mm] a_{69} [/mm] + [mm] a_{79} [/mm] + [mm] a_{89} [/mm] + [mm] a_{99}$
[/mm]
$+ [mm] a_{5,10} [/mm] + [mm] a_{6,10} [/mm] + [mm] a_{7,10} [/mm] + [mm] a_{8,10} [/mm] + [mm] a_{9,10} [/mm] + [mm] a_{10,10}$
[/mm]
Man sieht, dass hier beides Mal die Einträge der Matrix
[mm]\begin{pmatrix} a_{55} & a_{56} & a_{57} & a_{58} & a_{59} & a_{5,10}\\
0 & a_{66} & a_{67} & a_{68} & a_{69} & a_{6,10} \\
0 & 0 & a_{77} & a_{78} & a_{79} & a_{7,10} \\
0 & 0 & 0 & a_{88} & a_{89} & a_{8,10} \\
0 & 0 & 0 & 0 & a_{99} & a_{9,10} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{10,10} \end{pmatrix}[/mm]
summiert wurden, einmal zeilen- und einmal spaltenweise.
Gleiches kann man auch mit allgemeinen Indizes durchführen und damit die Formel beweisen.
Ich denke damit sind alle Unklarheiten beseitigt und die Frage abgehakt. 
Viele Grüße
Julius
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