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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Doppelreihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^{2k}} [/mm]
gegen den Grenzwert [mm] \bruch{3}{4} [/mm] konvergiert.
(Hinweis: (a) Verwenden Sie den Großen Umordnungssatz und finden Sie eine günstige Summationsreihenfolge.
(b) Bestimmen Sie A,B [mm] \in\IR, [/mm] so dass die Identität [mm] \bruch{1}{(n^2-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(n+1)}+\bruch{B}{(n-1)} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt.) |
Hallo!
Ich habe mal wieder eine Frage und zwar zu dieser Aufgabe. Kann mir vielleicht jemand einen Tip/Hinweis geben, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich habe das mit dem Großen Umordnungssatz noch nicht ganz so verstanden, der soll doch heißen, dass man die beiden Summen vertauschen kann und dass das dann immer noch den gleichen Grenzwert ergiebt? Könnte mir dan vielleicht jemand einen Ansatz dafür nennen? Und wie kann ich dann A und B finden, so dass die Identiät stimmt? Ich habe mal versucht, die rechte Seite von (b) auf einen Nenner zu bringen und dadurch hat sich dann [mm] (n^2-1) [/mm] herausgekürzt. Nun weiß ich allerdings nicht, ob mir das was nützt.
Nunja, ich hoffe, ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen, um ein wenig Licht ins Dunkel zu bringen. Ich bin für jegliche Hilfe dankbar.
Schonmal Danke im Voraus!!
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Sax |
hi,
> Zeigen Sie, dass die Doppelreihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^{2k}}[/mm]
> gegen den Grenzwert [mm]\bruch{3}{4}[/mm] konvergiert.
>
> (Hinweis: (a) Verwenden Sie den Großen Umordnungssatz und
> finden Sie eine günstige Summationsreihenfolge.
> (b) Bestimmen Sie A,B [mm]\in\IR,[/mm] so dass die Identität
> [mm]\bruch{1}{(n^2-1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(n+1)}+\bruch{B}{(n-1)}[/mm] für
> alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt.)
> Hallo!
>
> Ich habe mal wieder eine Frage und zwar zu dieser Aufgabe.
> Kann mir vielleicht jemand einen Tip/Hinweis geben, wie ich
> diese Aufgabe angehen soll. Ich habe das mit dem Großen
> Umordnungssatz noch nicht ganz so verstanden, der soll doch
> heißen, dass man die beiden Summen vertauschen kann und
> dass das dann immer noch den gleichen Grenzwert ergiebt?
Ja, das besagt er.
Überzeuge dich (und den Korrektor) davon, dass die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind und deine Reihe deshalb auch geschrieben werden kann in der Form [mm] S=\summe_{n=2}^{\infty}(\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{n^2})^k)
[/mm]
Die innere Reihe ist eine geometrische Reihe mit [mm] q=\bruch{1}{n^2} [/mm] und lässt sich leicht auswerten.
Du solltest [mm] S=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^2-1} [/mm] heraus bekommen.
> Könnte mir dan vielleicht jemand einen Ansatz dafür
> nennen? Und wie kann ich dann A und B finden, so dass die
> Identiät stimmt? Ich habe mal versucht, die rechte Seite
> von (b) auf einen Nenner zu bringen und dadurch hat sich
> dann [mm](n^2-1)[/mm] herausgekürzt. Nun weiß ich allerdings
> nicht, ob mir das was nützt.
Und ob dir das was nützt, denn jetzt hast du eine Gleichung $ 1=A*(n-1)+B*(n+1) $ da stehen, aus der du A und B bestimmen kannst.
Einsetzen bei S ergibt eine Teleskopsumme mit dem angegebenen Grenzwert.
>
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, danke für die schnelle Antwort!
Jetzt habe ich verstanden, wie das funktioniert!
Viele Grüße, Petrit!
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