Doppelreihe umformen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich versuche die ganze Zeit folgende Doppelreihe umzuformen:
Sei $G$ eine Menge und [mm] $\{g_i\}$ [/mm] eine darin dichte und abzählbare Teilmenge. Seien außerdem [mm] $a_j>0,a_j\in\IR,\sum\limits_{j=1}^\inftya_J=1$. [/mm] $h$ sei eine komplexwertige auf $G$ gleichmäßig stetige Funktion (ich glaub, das braucht man hier aber nicht).
Umformen möchte ich:
[mm] $\sum\limits_{j=1}^\infty a_j\sum\limits_{k=1}^\infty [/mm] a_kh(g_kg_jg)$
und zwar soll irgendwas von dieser Form rauskommen:
[mm] $\sum\limits_{j=1}^\infty \beta_j h(g_j'g)$ [/mm] mit [mm] $\beta_j>0,\beta_j\in\IR,\sum\limits_{j=1}^\infty\beta_j=1$
[/mm]
(Was genau [mm] $g_j'$ [/mm] ist, weiß ich nicht. Ich weiß also nicht, ob ich bekommen muss, dass [mm] \{g_j'\} [/mm] dicht liegt.)
Mein Problem dabei ist vor allem, dass ich dieses h(g_kg_jg) nicht umzuformen weiß. Könnte ich das irgendwie aus der zweiten Summe rausziehen, dann hätte ich mithilfe des Doppelreihensatzes ja direkt mein [mm] \beta_j [/mm] gefunden, nämlich als [mm] a_j\sum\limits_{k=1}^\infty a_k. [/mm] Aber das bekomme ich eben nicht hin :(
Kann mir da irgendjemand dabei helfen? Danke! :)
-------------------------------------------
-------------------------------------------
Ich habe das Problem oben jetzt gelöst:
Da [mm] \{g_j\} [/mm] eine abzählbare Menge ist, ist auch die Menge [mm] \{g_kg_j\} [/mm] abzählbar. Sei [mm] \{g_j'\} [/mm] die Abzählung dieser Menge.
Da [mm] \{a_j\} [/mm] abzählbar ist, ist auch die Menge [mm] \{a_ja_k\} [/mm] abzählbar. Sei [mm] \{\beta_j\} [/mm] die Abzählung dieser Menge. Allerdings bin ich mir hier noch nicht sicher, ob auch [mm] \sum\beta_j=1, [/mm] ich vermute aber schon.
Jetzt muss ich die Indizes und die Abzählungen bloß noch so vertauschen (sortieren), dass die Reihen übereinstimmen (die Summanden sind ja identisch).
Allerdings habe ich festgestellt, dass damit mein eigentliches Problem gar nicht gelöst ist. Eigentlich muss ich nämlich
[mm] $\sum\limits_{j=1}a_jh(g_jg)+\sum\limits_{j=1}^\infty a_j\sum\limits_{k=1}^\infty [/mm] a_kh(g_kg_jg)$
(mit evtl. noch mehr solcher Summanden) auf die Form
[mm] $\sum\limits_{j=1}^\infty \beta_j h(g_j'g)$ [/mm] mit [mm] $\beta_j>0,\beta_j\in\IR,\sum\limits_{j=1}^\infty\beta_j=1$
[/mm]
bringen.
Ich sehe da leider noch nicht, wie ich das mit dem oben erreichten schaffen kann. Hat da vielleicht jemand eine Idee, einen Hinweis für mich? Danke! :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 02.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
