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| Aufgabe | f : [mm] \IC \to \IC [/mm] heißt doppelt periodisch , falls es zwei [mm] \IR-linear [/mm] unabhängige Vektoren [mm] w_{1},w_{2} \in \IC [/mm] gibt, so dass f(z) = [mm] f(z+w_{1}) [/mm] = [mm] f(z+w_{2}) [/mm] für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Aufgabe:
Klassifiziere alle holomorphen doppelt periodischen Funktionen [mm] \IC \to \IC. [/mm] |
Hallo,
zuerst einmal bedeutet doch [mm] \IR- [/mm] Linearität folgendes:
Seien V, W Vektorräume mit demselben Skalarkoerper [mm] \IR. [/mm] Eine Funktion
f: V [mm] \to [/mm] W heisst [mm] \IR-linear, [/mm] wenn gilt:
a*f(x) = f(ax) für alle x in V und a in [mm] \IR
[/mm]
f(x+y) = f(x)+f(y) fuer alle x, y in V
R-linear bedeutet also einfach nur, dass die Skalare reell sind.
Wie finde ich jetzt die [mm] \IR-linear [/mm] unabhängigen Vektoren [mm] w_{1},w_{2}, [/mm] so dass f(z) = [mm] f(z+w_{1}) [/mm] = [mm] f(z+w_{2}) [/mm] für alle z [mm] \in \IC [/mm] gilt? Ich hier keine Idee... Muss ich hier alle möglichen Beispiele für doppelt periodisch finden?
Ein triviales Beispiel wäre doch, wenn [mm] w_{1},w_{2} [/mm] Null sind. Aber wenn beide Null sind, dann sind sie ja nicht unabhängig, oder?
Danke!
milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 15.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> f : [mm]\IC \to \IC[/mm] heißt doppelt periodisch , falls es zwei
> [mm]\IR-linear[/mm] unabhängige Vektoren [mm]w_{1},w_{2} \in \IC[/mm] gibt,
> so dass f(z) = [mm]f(z+w_{1})[/mm] = [mm]f(z+w_{2})[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Aufgabe:
> Klassifiziere alle holomorphen doppelt periodischen
> Funktionen [mm]\IC \to \IC.[/mm]
> Hallo,
> zuerst einmal bedeutet doch [mm]\IR-[/mm] Linearität folgendes:
>
> Seien V, W Vektorräume mit demselben Skalarkoerper [mm]\IR.[/mm]
> Eine Funktion
> f: V [mm]\to[/mm] W heisst [mm]\IR-linear,[/mm] wenn gilt:
> a*f(x) = f(ax) für alle x in V und a in [mm]\IR[/mm]
> f(x+y) = f(x)+f(y) fuer alle x, y in V
> R-linear bedeutet also einfach nur, dass die Skalare reell
> sind.
Das stimmt. Das hat allerdings nichts mit der Aufgabge zu tun  Bei der Aufgabe geht es um ganz normale holomorphe Funktionen $f : [mm] \IC \to \IC$, [/mm] die eine spezielle Eigenschaft haben: Naemlich, dass es zwei [mm] $\IR$-linear [/mm] unabhaengige Vektoren [mm] $w_1, w_2 \in \IC$ [/mm] gibt mit $f(z + [mm] w_1) [/mm] = f(z) = f(z + [mm] w_2)$ [/mm] fuer alle $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Das [mm] ``$\IR$-linear [/mm] unabhaengig'' bedeutet: [mm] $w_1, w_2 \in \IC$ [/mm] sind zwei Elemente so, dass die Gleichung $0 = [mm] r_1 w_1 [/mm] + [mm] r_2 w_2$ [/mm] mit [mm] $r_1, r_2 \in \IR$ [/mm] nur die triviale Loesung [mm] $(r_1, r_2) [/mm] = (0, 0)$ hat.
Oder anders ausgedrueckt: Jedes Element $c [mm] \in \IC$ [/mm] laesst sich eindeutig darstellen als $c = [mm] r_1 w_1 [/mm] + [mm] r_2 w_2$ [/mm] mit [mm] $r_1, r_2 \in \IR$.
[/mm]
> Wie finde ich jetzt die [mm]\IR-linear[/mm] unabhängigen Vektoren
> [mm]w_{1},w_{2},[/mm] so dass f(z) = [mm]f(z+w_{1})[/mm] = [mm]f(z+w_{2})[/mm] für
> alle z [mm]\in \IC[/mm] gilt?
Das brauchst du nicht (das ist im Allgemeinen auch ganz schoen schwer).
Du hast gegeben: Eine Funktion $f$ und diese Vektoren [mm] $w_1, w_2$ [/mm] mit der o.g. Eigenschaft. Und damit sollst du was machen.
Zur Klassifikation: Solche Funktionen sind uebrigens alle konstant :) Du nimmst also so ein $f$ mit zugehoerigen [mm] $w_1, w_2$ [/mm] und musst zeigen, dass $f$ konstant ist. Dazu schau dir mal die kompakte Menge $F := [mm] \{ r_1 w_1 + r_2 w_2 \mid r_1, r_2 \in [0, 1] \}$ [/mm] an. Auf dieser Menge ist die Funktion beschraenkt. Was passiert, wenn du $F$ um [mm] $w_1$ [/mm] oder [mm] $w_2$ [/mm] verschiebst? Wie verhaelt sich die Funktion auf der verschobenen Menge?
(Zeichne das am besten mal auf wenn du so keine Idee bekommst. Zwei linear unabhaengige Vektoren sind zwei Vektoren, die nicht auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Zum Beispiel sind $1$ und $i$ [mm] $\IR$-linear [/mm] unabhaengig. Und dann ueberleg dir mal wie die Verschiebungen von $F$ aussehen.)
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine ausführliche Antwort
>Zur Klassifikation: Solche Funktionen sind uebrigens alle
> konstant :) Du nimmst also so ein [mm]f[/mm] mit zugehoerigen [mm]w_1, w_2[/mm]
> und musst zeigen, dass [mm]f[/mm] konstant ist. Dazu schau dir mal
> die kompakte Menge [mm]F := \{ r_1 w_1 + r_2 w_2 \mid r_1, r_2 \in [0, 1] \}[/mm]
> an. Auf dieser Menge ist die Funktion beschraenkt. Was
> passiert, wenn du [mm]F[/mm] um [mm]w_1[/mm] oder [mm]w_2[/mm] verschiebst? Wie
> verhaelt sich die Funktion auf der verschobenen Menge?
Also wenn die Funktion f auf der kompakten Menge F beschränkt ist, und ja nach Voraussetzung holomorph und zudem auf ganz [mm] \IC [/mm] definiert, dann kann man doch den Satz von Liouville anwenden oder? Der Satz besagt, doch, dass jede beschränkte ganze Funktion konstant ist. Also habe ich gezeigt, dass f konstant ist, aber ohne irgendwas mit [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] zu machen...
Deinen Tipp habe ich versucht, umzusetzen. Als Beispiel habe ich mir mal diese Linearkombination ausgedacht: c= [mm] \bruch{1}{2} w_{1} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} w_{2}, [/mm] mit c [mm] \in [/mm] F. Wenn ich jetzt c um [mm] w_{1} [/mm] oder [mm] w_{2} [/mm] verschiebe, dann ist das doch eine Verschiebung der Funktion um [mm] w_{1} [/mm] oder [mm] w_{2} [/mm] oder? Ich versteh aber immer noch nicht, was dein Tipp mir aussagen sollte...
Ich stell mir unter f(z) = [mm] f(z+w_{1}) [/mm] = [mm] f(z+w_{2}) [/mm] eine Funktion vor, die sich wie Sinus oder Cosinus verhält, also egal wie wiet ich verschiebe, ich erhalte immer wieder die Ausgangsfunktion... Keine Ahnung, ob da meine Vorstellung Sinn macht.
Danke.
milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 15.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> danke für deine ausführliche Antwort
>
> >Zur Klassifikation: Solche Funktionen sind uebrigens alle
> > konstant :) Du nimmst also so ein [mm]f[/mm] mit zugehoerigen [mm]w_1, w_2[/mm]
> > und musst zeigen, dass [mm]f[/mm] konstant ist. Dazu schau dir mal
> > die kompakte Menge [mm]F := \{ r_1 w_1 + r_2 w_2 \mid r_1, r_2 \in [0, 1] \}[/mm]
> > an. Auf dieser Menge ist die Funktion beschraenkt. Was
> > passiert, wenn du [mm]F[/mm] um [mm]w_1[/mm] oder [mm]w_2[/mm] verschiebst? Wie
> > verhaelt sich die Funktion auf der verschobenen Menge?
>
> Also wenn die Funktion f auf der kompakten Menge F
> beschränkt ist, und ja nach Voraussetzung holomorph und
> zudem auf ganz [mm]\IC[/mm] definiert, dann kann man doch den Satz
> von Liouville anwenden oder? Der Satz besagt, doch,
> dass jede beschränkte ganze Funktion konstant ist.
Ja, aber dazu muss sie auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] beschraenkt sein und nicht nur auf $F$. Aber das folgt wegen der Periodizitaet bereits daraus, dass sie auf $F$ beschraenkt ist.
> Also
> habe ich gezeigt, dass f konstant ist, aber ohne irgendwas
> mit [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] zu machen...
> Deinen Tipp habe ich versucht, umzusetzen. Als Beispiel
> habe ich mir mal diese Linearkombination ausgedacht: c=
> [mm]\bruch{1}{2} w_{1}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4} w_{2},[/mm] mit c [mm]\in[/mm] F. Wenn
> ich jetzt c um [mm]w_{1}[/mm] oder [mm]w_{2}[/mm] verschiebe, dann ist das
> doch eine Verschiebung der Funktion um [mm]w_{1}[/mm] oder [mm]w_{2}[/mm]
> oder?
Es ist eine Verschiebung des Parameters; der Funktionswert aendert sich nicht.
> Ich versteh aber immer noch nicht, was dein Tipp mir
> aussagen sollte...
> Ich stell mir unter f(z) = [mm]f(z+w_{1})[/mm] = [mm]f(z+w_{2})[/mm] eine
> Funktion vor, die sich wie Sinus oder Cosinus verhält, also
> egal wie wiet ich verschiebe, ich erhalte immer wieder die
> Ausgangsfunktion...
Genau. Wie verhaelt sich [mm] $\sin$ [/mm] denn auf der reellen Achse? Wenn du dir das Intervall $F := [0, [mm] 2\pi]$ [/mm] anschaust, dann ist ja [mm] $\sin [/mm] x = [mm] \sin(x [/mm] + [mm] 2\pi)$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Und Warum folgt aus [mm] $\sin$ [/mm] auf $F$ beschraenkt, dass [mm] $\sin$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] beschraenkt ist? (Hier kann man sich das einfacher vorstellen.)
Im komplexen gehts dann genauso, nur das du halt zwei Perioden hast und $F$ kein Intervall, sondern ein Parallelogramm ist.
LG Felix
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