Doppelkegel, Mannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Doppelkegel D := {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] x^{2} [/mm] = [mm] y^{2} [/mm] } versehen mit der Relativtopologie keine topologische Mannigfaltigkeit ist. |
Hallo,
wie dieser Kegel aussieht, hab ich mir bereits skizziert. Es handelt sich um die Betragsfunktion in der oberen Halbebene und um die an der x-Achse gespiegelte Betragsfunktion in der unteren Halbebene. Dass D keine topologische Mannigfaltigkeit ist, kann nur daran liegen, dass man für keine offene Umgebung um den Punkt Null einen Homöomorphismus finden kann, welcher diese Umgebung auf eine offene Umgebung (also ein offenes Intervall) in [mm] \IR [/mm] abbildet.
Ich denke, dass die gesuchte Abbildung nicht injektiv sein kann. Beim normalen Kegel haut das mit der topologischen Mannigfaltigkeit noch hin, beim Doppelkegel wirds dann wohl allerdings zuviel des Guten, da quasi um den Nullpunkt das doppelte bijektiv abgebildet werden müsste, was wohl nicht funktioniert (stark vereinfacht gesprochen).
Allerdings ist das alles andere als ein mathematischer Beweis, bin mir auch nicht sicher, ob das so stimmt.
Wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
Anfänger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 11.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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