Doppelintegrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Di 13.07.2010 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | (1) [mm]\integral_{y=0}^{1}{\integral_{x=0}^{1}{e^{x+y} dx} dy}[/mm]
(2) [mm]\integral_{y=1}^{2}{\integral_{x=0}^{y+1}{x*lny dx} dy}[/mm] |
Gegeben ist die o.g. Aufgabe. (1)
Verstehe ich es nun richtig, dass ich jetzt nur stur integrieren muss (von innen nach außen), da die Grenzen fix sind?
Wie könnte man sich aus so einer Aufgabenstellung eine grafische Darstellung ableiten? Bisher bin ich nur bis zu einem rechteckigen Grenzverschnitt von 0 bis 1 auf der x- und y-Achse gekommen..
Nach sturer Integration komme ich auf das Ergebnis [mm]e^{2}-2e+1[/mm], ist das korrekt?
Wie sieht die Vorgehensweise nun bei inkonstanten Grenzen aus? (2)
Die Reihenfolge, innen die variable Grenze und außen die fixe, sollte so beibehalten werden, richtig? Aber wie gestaltet sich nun das weitere (schematische) Vorgehen?
LG,
fiktiv
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Hallo fiktiv,
> (1) [mm]\integral_{y=0}^{1}{\integral_{x=0}^{1}{e^{x+y} dx} dy}[/mm]
>
> (2) [mm]\integral_{y=1}^{2}{\integral_{x=0}^{y+1}{x*lny dx} dy}[/mm]
>
> Gegeben ist die o.g. Aufgabe. (1)
> Verstehe ich es nun richtig, dass ich jetzt nur stur
> integrieren muss (von innen nach außen), ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da die Grenzen
> fix sind?
Das tut man so oder so, ob die Grenzen fix sind oder nicht.
Das ist wie beim Auflösen von Klammern ...
> Wie könnte man sich aus so einer Aufgabenstellung eine
> grafische Darstellung ableiten? Bisher bin ich nur bis zu
> einem rechteckigen Grenzverschnitt von 0 bis 1 auf der x-
> und y-Achse gekommen..
Ja, du integrierst hier über das Quadrat [mm] $[0,1]\times[0,1]$
[/mm]
> Nach sturer Integration komme ich auf das Ergebnis
> [mm]e^{2}-2e+1[/mm], ist das korrekt?
>
> Wie sieht die Vorgehensweise nun bei inkonstanten Grenzen
> aus? (2)
> Die Reihenfolge, innen die variable Grenze und außen die
> fixe, sollte so beibehalten werden, richtig? Aber wie
> gestaltet sich nun das weitere (schematische) Vorgehen?
Integriere erst den inneren Teil, dann den äußeren ...
Manchmal kann es sinnvoll sein, die Inegrationsreihenfolge zu vertauschen (so es denn erlaubt ist - siehe etwa den Satz von Fubini)
>
> LG,
> fiktiv
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 13.07.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo und danke schonmal :)
Erstmal noch zu Aufgabe (2)..
Ich habe mich daran versucht und bin mir unsicher. Nachdem der innere Teil integriert war, bin ich auf den folgenden Zwischenschritt gekommen:
[mm]\bruch{1}{2}\integral_{y=1}^{2}{(y+1)^{2}*lny dy}[/mm]
.. wenn ich mich nicht irre, schreit das ja nach partieller Integration, nicht?
Welcher Teil sollte vorzugsweise als v' interpretiert werden ([mm]\integral{}{}{uv' dy} = uv-\integral{}{}{u'vdy}[/mm]) ?
Habe es mit lny als "u" probiert, weil mir die stammfunktion zu komplex schien und bin dann auf folgende Lösung:
[mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*lny] - \integral_{y=1}^{2}{\bruch{1}{y}*(y+1)^{2} dy}][/mm]
[mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*lny] - \integral_{y=1}^{2}{\bruch{1}{y}*(y^{2}+2y +1) dy}][/mm]
- an der stelle habe ich dann einfach gekürzt..:
[mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*lny] - \integral_{y=1}^{2}{(y+2 +\bruch{1}{y}) dy}][/mm]
[mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*lny] - [\bruch{1}{2}y^{2}+2y+lny]][/mm]
Wär für Hilfestellungen sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Erstmal noch zu Aufgabe (2)..
> Ich habe mich daran versucht und bin mir unsicher. Nachdem
> der innere Teil integriert war, bin ich auf den folgenden
> Zwischenschritt gekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{y=1}^{2}{(y+1)^{2}*lny dy}[/mm]
> .. wenn ich mich nicht irre, schreit das ja nach partieller
> Integration, nicht?
> Welcher Teil sollte vorzugsweise als v' interpretiert
> werden ([mm]\integral{}{}{uv' dy} = uv-\integral{}{}{u'vdy}[/mm]) ?
>
> Habe es mit lny als "u" probiert, weil mir die
> stammfunktion zu komplex schien und bin dann auf folgende
> Lösung:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*lny] - \integral_{y=1}^{2}{\bruch{1}{y}*(y+1)^{2} dy}][/mm]
Fast richtig: Rechts im Integral musst du [mm] $v=\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y$ [/mm] und nicht [mm] $v'=(y+1)^{2}$ [/mm] einsetzen:
[mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*\ln y] - \integral_{y=1}^{2}{\bruch{1}{y}*(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y) dy}][/mm]
und dann genauso weiter, wie du es schon gerechnet hast:
> [mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*\ln y]_{y=1}^{2} - \integral_{y=1}^{2}{(\bruch{1}{3}y^2+y+1) dy}][/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 13.07.2010 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | | (3) [mm]\integral_{y=1}^{e^{2}}{\integral_{x=\bruch{\pi}{4y}}^{\bruch{\pi}{2y}}{cos(xy) dx} dy}[/mm] |
Hallo Rainer,
danke für deine Antwort.
Also käme ich dann auf [mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*\ln y]_{y=1}^{2} - [\bruch{1}{9}y^{3}+\bruch{1}{2}y^{2}+y]_{y=1}^{2}[/mm]
und folglich:
[mm]\bruch{1}{2}[(\bruch{26}{3}*ln(2) - \bruch{59}{18}][/mm]
Zumindest, wenn ich jetzt nicht noch irgendwo einen Fehler eingebaut habe.
------
Zu Aufgabe (3)
Meine Lösung: [mm]\bruch{2-\wurzel{2}}{2}*(e^{2}-1)[/mm]
Wäre schön, wenn mir das jemand (sofern Zeit und Muße) bestätigen oder verneinen könnte. Dankesehr!
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Hallo nochmal,
> (3)
> [mm]\integral_{y=1}^{e^{2}}{\integral_{x=\bruch{\pi}{4y}}^{\bruch{\pi}{2y}}{cos(xy) dx} dy}[/mm]
>
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Antwort.
>
> Also käme ich dann auf
> [mm]\bruch{1}{2}[[(\bruch{1}{3}y^{3}+y^{2}+y)*\ln y]_{y=1}^{2} - [\bruch{1}{9}y^{3}+\bruch{1}{2}y^{2}+y]_{y=1}^{2}[/mm]
>
> und folglich:
> [mm]\bruch{1}{2}[(\bruch{26}{3}*ln(2) - \bruch{59}{18}][/mm]
>
> Zumindest, wenn ich jetzt nicht noch irgendwo einen Fehler
> eingebaut habe.
>
>
> ------
>
> Zu Aufgabe (3)
>
> Meine Lösung: [mm]\bruch{2-\wurzel{2}}{2}*(e^{2}-1)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die innere Integration ergibt [mm] $\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot{}\frac{1}{y}$ [/mm] und wenn du das nun nach y integrierst in den Grenzen 0 und [mm] e^2, [/mm] so ergibt sich [mm] $2-\sqrt{2}$
[/mm]
> Wäre schön, wenn mir das jemand (sofern Zeit und Muße)
> bestätigen oder verneinen könnte. Dankesehr!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mi 14.07.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo schachuzipus !
>
> Die innere Integration ergibt
> [mm]\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot{}\frac{1}{y}[/mm] und
> wenn du das nun nach y integrierst in den Grenzen 0 und
> [mm]e^2,[/mm] so ergibt sich [mm]2-\sqrt{2}[/mm]
>
Aber integriere ich nicht in den Grenzen 1 und [mm]e^{2}[/mm]?
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus !
>
> >
> > Die innere Integration ergibt
> > [mm]\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot{}\frac{1}{y}[/mm] und
> > wenn du das nun nach y integrierst in den Grenzen 0 und
> > [mm]e^2,[/mm] so ergibt sich [mm]2-\sqrt{2}[/mm]
> >
>
> Aber integriere ich nicht in den Grenzen 1 und [mm]e^{2}[/mm]?
 Ja, hatte mich verschrieben, ändert aber am Resultat nix.
Bildest du eine Stammfkt, so ergibt sich [mm] $\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot{}\ln(|y|)$
[/mm]
Setzt du die obere Grenze [mm] $e^2$ [/mm] ein, so ergibt sich [mm] $\ln(e^2)=2, [/mm] bei der unteren Grenze 1 ergibt sich [mm] $\ln(1)=0$, [/mm] ergibt insgesamt [mm] $\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot{}2-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot{}0=2-\sqrt{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mi 14.07.2010 | | Autor: | fiktiv |
Ah, okay.. dann liegt der Fehler bei mir noch vorher.
Wie kommst du auf die [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
Nach der ersten Integration kam ich auf folgenden Schritt:
[mm]\integral_{y=1}^{e^{2}}{[sin(\bruch{\pi}{2y}y)]-[sin(\bruch{\pi}{4y}y)]dy}[/mm]
Die jeweilige Multiplikation kürzte das y im Nenner dann raus...
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Hallo nochmal,
> Ah, okay.. dann liegt der Fehler bei mir noch vorher.
> Wie kommst du auf die [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
> Nach der ersten Integration kam ich auf folgenden Schritt:
>
> [mm]\integral_{y=1}^{e^{2}}{[sin(\bruch{\pi}{2y}y)]-[sin(\bruch{\pi}{4y}y)]dy}[/mm]
Ja, und [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$, $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
[/mm]
Du hast bei der Integration von [mm] $\cos(xy)$ [/mm] nicht beachtet, dass die Fkt verkettet ist.
Es ist [mm] $\int{\cos(xy) \ dx}=\frac{1}{y}\cdot{}\sin(xy)$ [/mm] und nicht [mm] $\sin(xy)$
[/mm]
Leite ab ...
> Die jeweilige Multiplikation kürzte das y im Nenner dann
> raus...
Im Argument des Sinus, ja ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 14.07.2010 | | Autor: | fiktiv |
Danke erstmal für die bisherige Unterstützung. Hatte an die kette mit dem kosinus nicht mehr gedacht.
Nun beläuft sich meine Frage wieder auf die zu skizzierende Darstellung.
Im ersten Fall wurde mir ja das einfach Quadrat als Integrationsbereich bestätigt. Aber wie sieht das nun in den anderen Fällen mit variablen Grenzen aus?
| Aufgabe | (2) [mm]\integral_{y=1}^{2}{\integral_{x=0}^{y+1}{x*lny dx} dy}[/mm]
(3) [mm]\integral_{y=1}^{e^{2}}{\integral_{x=\bruch{\pi}{4y}}^{\bruch{\pi}{2y}}{cos(xy) dx} dy}[/mm] |
Aufgabe (2):
Die äußere Grenze läuft von y=1 bis 2, also habe ich zwei waagerechte Begrenzungen bei den beiden "Höhen" gemacht. Das innere Integral ist ja nun aber variabel? Und trägt die Funktion selbst in dieser Skizze gar nicht bei?
Bei Aufgabe (3) ist es ein ähnliches Problem. Wie geht man solche Integrationsbereichsskizzen an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 14.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
doch du musst die 2 Kurven [mm] x0\pi/(4y) [/mm] und [mm] x=\pi/(2y) [/mm] skuzzieren und dann das Gebiet zwischen denen und den 2 Geraden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mi 14.07.2010 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für den in der Ebene z=0 durch die Kurven [mm]x=y^{2}[/mm] und [mm]x=3-2y^{2}[/mm] begrenzten Bereich B, der mit der Dichte [mm]p(x,y)=xy^{2}[/mm] belegt ist, die Fläche [mm]F = \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{dA}}[/mm] und die Masse [mm]M= \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{p(x,y)dA}[/mm]. Skizzieren Sie den Bereich B. |
Ich habe mir also erstmal vorgenommen, den Bereich zu skizzieren und bin dabei auf folgende Darstellung gekommen:
![[]](/images/popup.gif) http://a.imageshack.us/img204/9206/99671473.jpg
Ist die Bereichsdarstellung so richtig?
Wie zusehen, habe ich mir gedacht, die Fläche in zwei Teile zu teilen. Einmal den Bereich B1 mit x in den Grenzen 0 und 1 und y in den Grenzen 0 und [mm]\wurzel{2}[/mm] und in den Bereich mit B2 mit x in den Grenzen 1 bis 3 und y in den Grenzen 1 bis [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}x}[/mm].
Dann ist ja zunächst die Fläche des Bereiches(?) gefragt. Das ist doch dann aber eigentlich ein ganz normales Einfachintegral? Ich denke da an:
[mm]F= \integral_{0}^{3}{[(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}x) - \wurzel{x}]} dx}[/mm]
Ansonsten wüsste ich nicht, mit was für eine Funktion ich integrieren sollte..
Für die Massebestimmung würde ich dann folgend vorgehen:
[mm]M= \integral_{x=0}^{1}{{\integral_{y=0}^{\wurzel{x}}{xy^{2} dA}} + \integral_{x=1}^{3}{{\integral_{y=1}^{\wurzel{\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}x}}{xy^{2} dA}}[/mm]
Allerdings kann ich widerum mit der Integration nach dA nicht viel anfangen?
Danke :)
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Hallo fiktiv,
> Berechnen Sie für den in der Ebene z=0 durch die Kurven
> [mm]x=y^{2}[/mm] und [mm]x=3-2y^{2}[/mm] begrenzten Bereich B, der mit der
> Dichte [mm]p(x,y)=xy^{2}[/mm] belegt ist, die Fläche [mm]F = \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{dA}}[/mm]
> und die Masse [mm]M= \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{p(x,y)dA}[/mm].
> Skizzieren Sie den Bereich B.
> Ich habe mir also erstmal vorgenommen, den Bereich zu
> skizzieren und bin dabei auf folgende Darstellung gekommen:
> http://a.imageshack.us/img204/9206/99671473.jpg
>
> Ist die Bereichsdarstellung so richtig?
> Wie zusehen, habe ich mir gedacht, die Fläche in zwei
> Teile zu teilen. Einmal den Bereich B1 mit x in den Grenzen
> 0 und 1 und y in den Grenzen 0 und [mm]\wurzel{2}[/mm] und in den
> Bereich mit B2 mit x in den Grenzen 1 bis 3 und y in den
> Grenzen 1 bis [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}x}[/mm].
Hier kannst Du es Dir einfach machen,
in dem Du die beiden Kurven benutzt, um die Grenzen für x festzulegen.
>
> Dann ist ja zunächst die Fläche des Bereiches(?) gefragt.
> Das ist doch dann aber eigentlich ein ganz normales
> Einfachintegral? Ich denke da an:
Im Prinzip ja.
> [mm]F= \integral_{0}^{3}{[(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}x) - \wurzel{x}]} dx}[/mm]
Nein, das zu berechnende Integral mußt Du aufteilen:
[mm]F= \integral_{0}^{1}{\wurzel{x}} \ dx}+ \integral_{1}^{3}{\wurzel{\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}x} } \ dx}[/mm]
Hier ist aber die Berechnung eines Doppelintegrals verlangt.
>
> Ansonsten wüsste ich nicht, mit was für eine Funktion ich
> integrieren sollte..
>
> Für die Massebestimmung würde ich dann folgend vorgehen:
> [mm]M= \integral_{x=0}^{1}{{\integral_{y=0}^{\wurzel{x}}{xy^{2} dA}} + \integral_{x=1}^{3}{{\integral_{y=1}^{\wurzel{\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}x}}{xy^{2} dA}}[/mm]
>
> Allerdings kann ich widerum mit der Integration nach dA
> nicht viel anfangen?
dA ist das Flächenelement mit
[mm]dA=dx \ dy[/mm] bzw. [mm]dA=dy \ dx[/mm]
Das heisst die Fläche kannst Du wie folgt ausrechnen:
[mm]F=\integral_{}^{}{ \integral_{B}^{}{dy}\ dx}[/mm]
bzw.
[mm]F=\integral_{}^{}{ \integral_{B}^{}{dx}\ dy}[/mm]
Das heisst, die Fläche kannst Du auch so berechnen:
[mm]F=\integral_{y=0}^{1}{ \integral_{x=y^{2}}^{3-2*y^{2}}{dx}\ dy}[/mm]
>
> Danke :)
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mi 14.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Gebiet ist nicht richtig, der Rand ist ja durch [mm] x=y^2 [/mm] gegeben, also zur x-Achse symmetrisch
also ist, da ja auch [mm] \rho [/mm] symmetrisch ist das richtige Integral doppelt so gross.
Gruss leduart
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![[]](http://a.imageshack.us/img204/9206/99671473.jpg){kind=small}
http://a.imageshack.us/img204/9206/99671473.jpg