Doppelintegral mit transf. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gebiet D begrenzt von den Geraden y=x+2, y=x-1, y=-2x+2 und y=-2x+4.
Berechnen Sie das Doppelintegral von f(x,y)=xy indem Sie das Koordinatensystem geeignet transformieren und im Integral entsprechend substituieren. |
Hallo!
Da das Gebiet über das ich integriere ein Rechteck ist, sollte eine Transformation ja nicht all zu schwer sein.
Ich hab mir gedacht ich dreh das Koordinatensystem, sodass die Geraden des Rechtecks parallel zu meinen Koordinatenachsen sind und dann integriere ich entspannt über die Eckpunkte.
Jetzt aber mein Problem wie funktioniert das hier?
Ich hab die Matrix die mein Koordinatensystem dreht (bzw. die Koordinatenachsen als Geraden), sodass die neuen Koordinatenachsen parallel zu den Rechteckachsen sind.
Wenn ich aber die Punkte auch transformiere dann bin ich wieder im Ausgangsproblem nur mit anderen Koordinaten, darum hab ich mir gedacht ich dreh nur das Koordinatensystem und lass die Punkte wo sie sind, schreibe sie aber in den neuen Koordinaten. (Also Rechteck bleibt wo es ist nur das Koordinatensystem dreht sich)
Aber wie krieg ich diese neuen Koordinaten bzw die korrekte Substitution (In früheren BSP. hatte ich immer die Substitution gegeben à la x=u*v etc.) Wenn ich meine Matrix drauf anwende dreh ich ja die Punkte, das will ich aber nicht.
Danach müsste ich ja per Doppelintegral xy * Funktionaldet. dx dy mit den Eckpunkten als Grenzen das richtige Ergebnis bekommen.
lg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Epsilongroesser0,
> Gebiet D begrenzt von den Geraden y=x+2, y=x-1, y=-2x+2 und
> y=-2x+4.
> Berechnen Sie das Doppelintegral von f(x,y)=xy indem Sie
> das Koordinatensystem geeignet transformieren und im
> Integral entsprechend substituieren.
> Hallo!
> Da das Gebiet über das ich integriere ein Rechteck ist,
> sollte eine Transformation ja nicht all zu schwer sein.
> Ich hab mir gedacht ich dreh das Koordinatensystem, sodass
> die Geraden des Rechtecks parallel zu meinen
> Koordinatenachsen sind und dann integriere ich entspannt
> über die Eckpunkte.
> Jetzt aber mein Problem wie funktioniert das hier?
> Ich hab die Matrix die mein Koordinatensystem dreht (bzw.
> die Koordinatenachsen als Geraden), sodass die neuen
> Koordinatenachsen parallel zu den Rechteckachsen sind.
>
> Wenn ich aber die Punkte auch transformiere dann bin ich
> wieder im Ausgangsproblem nur mit anderen Koordinaten,
> darum hab ich mir gedacht ich dreh nur das
> Koordinatensystem und lass die Punkte wo sie sind, schreibe
> sie aber in den neuen Koordinaten. (Also Rechteck bleibt wo
> es ist nur das Koordinatensystem dreht sich)
>
> Aber wie krieg ich diese neuen Koordinaten bzw die korrekte
> Substitution (In früheren BSP. hatte ich immer die
> Substitution gegeben à la x=u*v etc.) Wenn ich meine
> Matrix drauf anwende dreh ich ja die Punkte, das will ich
> aber nicht.
>
> Danach müsste ich ja per Doppelintegral xy *
> Funktionaldet. dx dy mit den Eckpunkten als Grenzen das
> richtige Ergebnis bekommen.
>
Die begrenzenden Gereraden genügen doch der folgenden Darstellung:
[mm]g_{c}: \ y=x+c, \ c \in \left\{-1,2\right\}[/mm]
[mm]h_{d}: \ y=-2x+d, \ d \in \left\{2,4\right\}[/mm]
Daraus kannst Du DIr die Parameterdarstellung herleiten.
> lg.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Das heißt ich krieg für x= -1/3*(c-d)
und für y = -1/3*(2c+d)
Und kann ganz normal weiter rechnen.
Was steckt da an Theorie dahinter? Also wieso funktioniert das so?
Vielen Dank schon mal.
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Hallo Epsilongroesser0,
> Das heißt ich krieg für x= -1/3*(c-d)
> und für y = -1/3*(2c+d)
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]y=\blue{+}\bruch{2c+d}{3}[/mm]
> Und kann ganz normal weiter rechnen.
>
Ja.
> Was steckt da an Theorie dahinter? Also wieso funktioniert
> das so?
>
Da steckt nur etwas Überlegung dahinter.
> Vielen Dank schon mal.
Gruss
MathePower
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