Doppelintegral Integrationsbe. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 So 03.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich stehe grade bei einer Aufgabe an.
Ich soll den Integrationsbereich D skizzieren ,welcher jener Teil des 1.Quadranten ist,für welchen [mm] x+y\le1 [/mm] gilt.
Das Integral [mm] \integral_{}^{}\integral_{D}^{}{e^{-x-2y} dxdy} [/mm] schaffe ich dann wieder zum integrieren wenn ich mal D habe.
Meine zweite Frage ist : ich soll [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{x max(x,y) dxdy},wobei [/mm] max(x,y) jene Funktion ist ,welche einem Punkt (x,y) das Maximum von x und y zuordnet.
Wie bekomme ich hier meine Funktion,ich versteh das leider überhaupt nicht :/
Danke schon mal im voraus
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Hallo racy90,
> Hallo
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> Ich stehe grade bei einer Aufgabe an.
>
> Ich soll den Integrationsbereich D skizzieren ,welcher
> jener Teil des 1.Quadranten ist,für welchen [mm]x+y\le1[/mm]
> gilt.
>
> Das Integral [mm]\integral_{}^{}\integral_{D}^{}{e^{-x-2y} dxdy}[/mm]
> schaffe ich dann wieder zum integrieren wenn ich mal D
> habe.
>
Durch das, daß der Integrationsbereich der 1.Quadrant ist,
muß [mm]x \ge 0, \ y \ge 0[/mm] sein.
Weiterhin ist x bzw. y durch die Gerade 1-y bzw 1-x nach oben beschränkt.
> Meine zweite Frage ist : ich soll
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{x max(x,y) dxdy},wobei[/mm]
> max(x,y) jene Funktion ist ,welche einem Punkt (x,y) das
> Maximum von x und y zuordnet.
>
> Wie bekomme ich hier meine Funktion,ich versteh das leider
> überhaupt nicht :/
>
Spalte zunächst das innerste Integral auf:
[mm]\integral_{0}^{1}{x max(x,y) \ dx= \integral_{0}^{y}{x max(x,y) \ dx+\integral_{y}^{1}{x max(x,y) \ dx[/mm]
Nun kannst Du die Funktion in beiden Fällen bestimmen.
>
> Danke schon mal im voraus
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 03.06.2012 | | Autor: | racy90 |
also sieht mein Integral das ich zu berechnen habe etwa so aus:
[mm] \integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-y}{e^{-x-2y} dxdy} [/mm] und der Integrationsbereich sieht als Skizze wie ein Dreieck aus mit Eckpunkten in 0,1 und 1?
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Hallo racy90,
> also sieht mein Integral das ich zu berechnen habe etwa so
> aus:
>
> [mm]\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-y}{e^{-x-2y} dxdy}[/mm] und
Nicht ganz.
Das äußere Integral muss feste Grenzen aufweisen.
Hier lautet dann das zu berechnende Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-y}{e^{-x-2y} dxdy}[/mm]
> der Integrationsbereich sieht als Skizze wie ein Dreieck
> aus mit Eckpunkten in 0,1 und 1?
Das Dreieck hat die Eckpunkte (0,0),(0,1),(1,0)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 03.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay aber gibt es auch einen Grund warum man die erste Grenze fix annimmt?
zum 2.Bsp :
Ich habe nun [mm] \integral_{0}^{1}x [/mm] max(x,y) \ dx= [mm] \integral_{0}^{y}x [/mm] max(x,y) \ [mm] dx+\integral_{y}^{1}x [/mm] max(x,y) \ dx berechnet und es kommt für das erste Integral [mm] \bruch{y^2}{2} [/mm] und für das 2.Integral [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{y^2}{2}
[/mm]
Wenn ich diese Summiere bekomme ich 1/2 heraus.
Hätte ich hier überhaupt integrieren sollen?
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Hallo racy90,
> Okay aber gibt es auch einen Grund warum man die erste
> Grenze fix annimmt?
>
Nun, weil man zuletzt über feste Grenzen integriert.
Und das ist nun mal das äußerste Integral.
> zum 2.Bsp :
>
> Ich habe nun [mm]\integral_{0}^{1}x[/mm] max(x,y) \ dx=
> [mm]\integral_{0}^{y}x[/mm] max(x,y) \ [mm]dx+\integral_{y}^{1}x[/mm]
> max(x,y) \ dx berechnet und es kommt für das erste
> Integral [mm]\bruch{y^2}{2}[/mm] und für das 2.Integral
> [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{y^2}{2}[/mm]
>
> Wenn ich diese Summiere bekomme ich 1/2 heraus.
>
Poste doch die Rechenschritte dazu,
wie Du auf diesen Wert kommst.
> Hätte ich hier überhaupt integrieren sollen?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 03.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay das habe ich verstanden
Jetzt habe ich noch eine Frage zu den Integrationsreihenfolgen weil ich mir da noch sehr schwer tue
Zb das Integral von vorhin [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-y}{e^{-x-2y} dxdy},wenn [/mm] ich hier zb tausche
Bleibt die Äußere ja immer gleich und die innere wird verändert.Also etwa so : [mm] 0\lex\le1-y [/mm] -> [mm] -x+1\gey [/mm] und [mm] 0\lex
[/mm]
also folglich [mm] x\ley\le-x+1 \integral_{0}^{1}\integral_{x}^{1-x}{e^{-x-2y} dydx}
[/mm]
oder ein anderes Bsp [mm] \integral_{0}^{2}\integral_{y^2}^{4}{\bruch{y^3}{x}e^{x^2}dxdy}
[/mm]
[mm] y^2\lex\le4 [/mm]
[mm] y^2\lex [/mm] und [mm] x\le4 y\le\wurzel{x} [/mm] und [mm] x\le [/mm] 4 --> [mm] y\le\wurzel{x}\le4
[/mm]
Aber hier ist es ja nicht von y abhängig?
Hab ich das System von Grund auf nicht verstanden oder ist es nur ein Rechenfehler??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Okay das habe ich verstanden
>
> Jetzt habe ich noch eine Frage zu den
> Integrationsreihenfolgen weil ich mir da noch sehr schwer
> tue
>
> Zb das Integral von vorhin
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-y}{e^{-x-2y} dxdy},wenn[/mm]
> ich hier zb tausche
>
> Bleibt die Äußere ja immer gleich und die innere wird
> verändert.Also etwa so : [mm]0\lex\le1-y[/mm] -> [mm]-x+1\gey[/mm] und
du hast doch das Dreieck gezeichnet, also kannst es , da es voellig sym zu x und y ist einfach die Integrationsgrenzen vertauschen, wie du auf
den Folgepfeil in [mm]0\lex\le1-y[/mm] -> [mm]-x+1\gey[/mm]
kommst verstehe ich nicht.
ich glaube du hast nicht verstanden, was das Doppelintegral bedeutet:
du kannst dein Dreieck in horizontale Streifen, der Breite dy
einteilen und erst , die reichen von o bis 1-x, dann summierst du die Streifen auf, oder in vertikale Streifen der Breite dx, die laufen bis 1-y danach addierst du alle streifen von y=0 bis 1
also hast du entweder
[mm][mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1-y}{e^{-x-2y}dx)dy}
[/mm]
oder
[mm][mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1-x}{e^{-x-2y})dy)dx} [/mm]
> [mm]0\lex[/mm]
>
> also folglich [mm]x\ley\le-x+1 \integral_{0}^{1}\integral_{x}^{1-x}{e^{-x-2y} dydx}[/mm]
das ist falsch
> oder ein anderes Bsp
> [mm]\integral_{0}^{2}\integral_{y^2}^{4}{\bruch{y^3}{x}e^{x^2}dxdy}[/mm]
>
>
> [mm]y^2\lex\le4[/mm]
> [mm]y^2\lex[/mm] und [mm]x\le4 y\le\wurzel{x}[/mm] und [mm]x\le[/mm] 4 -->
> [mm]y\le\wurzel{x}\le4[/mm]
was deine Integralgrenzen oben mit diesem Gebiet zu tun haben versteh ich nicht
du solltest dir das Gebiet einzeichnen!
1. [mm] y^2<4 [/mm] heisst -2<y<2
x<4y heisst y>x/4 d.h das gebiet liegt oberhalb der Geraden y=x/4, wegen [mm] y<\wurzel{x}/4 [/mm] liegen die punkte unterhalb der Kurve [mm] y=\wurzel{x}/4 [/mm]
zeichne das mal alles auf! dann bestimme die Grenzen!
wie bist du auf die in deinem Integral gekommen.
Du solltest dir anfangs immer das Gebiet aufzeichnen, sonst kommst du durcheinander.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 So 03.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Die ursprünglichen Grenzen waren gegeben.
Aber wenn ich mir den Integrationsbereich von dem geg. Integral hinzeichne,sollte ich dann so etwas hinzeichnen
Im y-Bereich is es beschränkt zwischen 0 und 2 und im x-Bereich rechts von 4 und links schneidet die Parabel die y=2 Gerade.
Die Fläche die zwischen 0 und 2 liiegt bzw rechts vom Parabelstück und 4 ist mein Integrationsbereich.
Und was genau tu ich dann??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du zeichnest die Parabel [mm] x=y^2, [/mm] bzw y=/wurzel{x} und die Gerade x=4 das Stueck dazwischen ist dein Gebiet, also [mm] x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 So 03.06.2012 | | Autor: | racy90 |
naja meine Grenzen [mm] y^2\lex\le4 [/mm] sind x-abhängig und die versuche ich y-abhängig zu machen oder?
aber ich weiß nur nicht wie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mal doch das Gebiet auf, an einer stelle x wie gross ist y,
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
von welchen Gebiet reden wir denn jetzt? Das ursprüngliche Gebiet habe ich schon gezeichnet .Das ist eine Parabel,geschnitten bei x=4
Aber wie soll ich das neue Gebiet zeichnen wenn ich keine neuen Grenzen habe bzw errechnen
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:07 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
von welchen Gebiet reden wir denn jetzt? Das ursprüngliche Gebiet habe ich schon gezeichnet .Das ist eine Parabel,geschnitten bei x=4
Aber wie soll ich das neue Gebiet zeichnen wenn ich keine neuen Grenzen habe bzw errechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Kann mir keiner weiterhelfen :/
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Erst die andere Aufgabe fertigmachen. Dann hier weiter.
Und wenn du dort etwas gelernt hast, kommst du hier vielleicht alleine weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 06.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich glaube, daß racy90 das Integral mit der Maximumfunktion nicht richtig berechnet hat. Ich blicke allerdings bei diesem Hin und Her auch nicht ganz durch.
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Irgendwie scheint mir da der Wurm drin zu sein. Was hast du nun als Ergebnis für das Doppelintegral? Ich habe 3/8.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Es waren verschiedene Aufgaben in einen Thread
aber die Aufgabe wo ich noch immer hänge ist diese:
[mm] \integral_{0}^{2}{}\integral_{y^2}^{4}{\bruch{y^3}{x}e^{x^2}dxdy}
[/mm]
Dieses Integral soll ich berechnen indem ich die Integrationsreihenfolge vertausche.
Aber wie habe leider noch immer nicht verstanden wie man das macht.
Den Intergrationsbereich vor der vertauschung des Integrationsbereiches habe ich schon skizziert
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Hallo racy90,
> Es waren verschiedene Aufgaben in einen Thread
>
> aber die Aufgabe wo ich noch immer hänge ist diese:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{}\integral_{y^2}^{4}{\bruch{y^3}{x}e^{x^2}dxdy}[/mm]
>
> Dieses Integral soll ich berechnen indem ich die
> Integrationsreihenfolge vertausche.
>
> Aber wie habe leider noch immer nicht verstanden wie man
> das macht.
>
x hat jetzt feste Grenzen: [mm]0 \le x \le 4[/mm]
Nun musst Du die Grenzen von y in Abhängigkeit von x ausdrücken.
Diese Grenzen findest DU anhand der Skizze heraus.
> Den Intergrationsbereich vor der vertauschung des
> Integrationsbereiches habe ich schon skizziert
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
> Hallo racy90,
>
> > Es waren verschiedene Aufgaben in einen Thread
> >
> > aber die Aufgabe wo ich noch immer hänge ist diese:
> >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2}{}\integral_{y^2}^{4}{\bruch{y^3}{x}e^{x^2}dxdy}[/mm]
> >
> > Dieses Integral soll ich berechnen indem ich die
> > Integrationsreihenfolge vertausche.
> >
> > Aber wie habe leider noch immer nicht verstanden wie man
> > das macht.
> >
>
>
> x hat jetzt feste Grenzen: [mm]0 \le x \le 4[/mm]
Wie komst du auf 0,es steht doch [mm] y^2 [/mm] als untere Grenze
> Nun musst Du die Grenzen von y in Abhängigkeit von x
> ausdrücken.
>
> Diese Grenzen findest DU anhand der Skizze heraus.
>
>
> > Den Intergrationsbereich vor der vertauschung des
> > Integrationsbereiches habe ich schon skizziert
>
[mm] y^2 \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4 soll ich nun nach y umstellen?
Naja bei meiner urpsrungsskizze gibt es 2 Schnittpunkte,einmal im Nullpunkt von dort geht auch ein Teil der Parabel weg und schneidet sich dann im Punkt (4,2) mit der gerade x=4
>
Zur Aufgabe mit der max. Funktion.Hier habe ich nachdem ich das innere Integral aufgeteilt habe und mir 1/2 herausgekommen ist ,das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{}´\integral_{0}^{1}{x*1/2 dxdy} [/mm] und das = 1/2
> Gruss
> MathePower
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Hallo racy90,
> > Hallo racy90,
> >
> > > Es waren verschiedene Aufgaben in einen Thread
> > >
> > > aber die Aufgabe wo ich noch immer hänge ist diese:
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2}{}\integral_{y^2}^{4}{\bruch{y^3}{x}e^{x^2}dxdy}[/mm]
> > >
> > > Dieses Integral soll ich berechnen indem ich die
> > > Integrationsreihenfolge vertausche.
> > >
> > > Aber wie habe leider noch immer nicht verstanden wie man
> > > das macht.
> > >
> >
> >
> > x hat jetzt feste Grenzen: [mm]0 \le x \le 4[/mm]
> > Wie komst du
> auf 0,es steht doch [mm]y^2[/mm] als untere Grenze
> > Nun musst Du die Grenzen von y in Abhängigkeit von x
> > ausdrücken.
> >
> > Diese Grenzen findest DU anhand der Skizze heraus.
> >
> >
> > > Den Intergrationsbereich vor der vertauschung des
> > > Integrationsbereiches habe ich schon skizziert
> >
> [mm]y^2 \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 4 soll ich nun nach y umstellen?
>
> Naja bei meiner urpsrungsskizze gibt es 2
> Schnittpunkte,einmal im Nullpunkt von dort geht auch ein
> Teil der Parabel weg und schneidet sich dann im Punkt (4,2)
> mit der gerade x=4
Die Punkte auf der Parabel haben doch die Koordinaten [mm]\left(y^{2}, \ y\right)[/mm]
Und y läuft von 0 bis zur y-Koordinate dieses Punktes.
Diesen musst Du als Funktion von x ausdrücken.
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Ist es dann [mm] \wurzel{x}=y [/mm] weil wenn ich hier den Schnittpunkt (4,2) einsetze stimmt es ja. Aber dann hätte ich ja nur eine neue Grenze ,wie komme ich dann zur zweiten?
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Hallo racy90,
> Ist es dann [mm]\wurzel{x}=y[/mm] weil wenn ich hier den
> Schnittpunkt (4,2) einsetze stimmt es ja. Aber dann hätte
> ich ja nur eine neue Grenze ,wie komme ich dann zur
> zweiten?
Nun, die Untergrenze von y ist ja 0, so daß sich folgendes Doppelintegral ergibt:
[mm]\integral_{0}^{4}{}\integral_{0}^{\wurzel{x}}{\bruch{y^3}{x}e^{x^2} \ dy \ dx} [/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Vielen dank
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Das ändert aber nichts daran, daß ich immer noch glaube, daß du die Sache mit der Maximum-Funktion nicht richtig ausgeführt hast.
Lieber bei einem Problem bleiben, und das sicher zu Ende bringen, bevor man sich dem nächsten Problem zuwendet.
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Der Ansatz für das innere Integral mit der Maximum-Funktion
[mm]\int_0^1 x \cdot \max(x,y) ~ \mathrm{d}x = \int_0^y x \cdot \max(x,y) ~ \mathrm{d}x \ + \int_y^1 x \cdot \max(x,y) ~ \mathrm{d}x = \int_0^y x \cdot y ~ \mathrm{d}x \ + \int_y^1 x^2 ~ \mathrm{d}x[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
also ist meine max-funktion [mm] \bruch{5y^3}{6}-1/3 [/mm] und das setze ich nun in mein eingentliches Integral ein .Also das ganze noch mal x und dann nach dxdy integrieren
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Ich komme auf [mm]\frac{1}{6} y^3 + \frac{1}{3}[/mm] .
Und wieso jetzt noch mal [mm]x[/mm]? Wo kommt denn [mm]x[/mm] auf einmal her?
[mm]\int_0^1 \underbrace{\int_0^1 x \cdot \max(x,y) ~ \mathrm{d}x}_{\text{berechnet zu} \ \frac{1}{6} y^3 + \frac{1}{3}} ~ \mathrm{d}y[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Sorry Denkfehler,Ich bekomme nun dasselbe heraus und schlussendlich 3/8
Vielen dank für die Geduld!
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