Doppelintegral / Flächenmitte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Sa 26.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
| Aufgabe | Berechne die Koordinaten des geometrischen Mittelpunktes für:
M=[x,y,] : [mm] x^2+y^2 \le 1 , y\ge x [/mm] |
Hallo zusammen!
Bin bei dieser Aufgabe etwas hilflos , was die Berechnung der Koordinaten anbetrifft. Ich habe folgenden Ansatz gewählt komme aber leider nicht ganz so weit:
Für die Intervallgrenzen habe ich folgendes überlegt:
Es handelt sich hierbei um einen Einheitskreis mit dem Radius 1.
Das heisst nun , für die umrechnung in Polarkoordinaten: [mm] 0\le r \le 1
und \bruch{\pi}{4} \le \pi \le \bruch{5* \pi}{4}[/mm]
Jetzt kommt nun das , was nicht ganz so klar ist:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_ \bruch{\pi}{4}^\bruch{5* \pi}{4} r*cos\phi*r {d\phi}dr} [/mm]
Ist das überhaupt richtig so?
Also ich habe folgendes überlegt:
Berechne zuerst das Integral [mm] {\integral_ \bruch{\pi}{4}^\bruch{5* \pi}{4} r*cos\phi*r {d\phi}} [/mm] und anschliessen das äussere Integral.
Nun wenn das aber so rechne kriege ich ein falsches Ergebnis raus.
Kann mir bitte jemand eine Resonanz geben ob der Ansatz so richtig ist ?
Danke für jeden Hinweis!!
LG
|
|
| |
|
Hallo noidea!
> Berechne die Koordinaten des geometrischen Mittelpunktes
> für:
>
> M=[x,y,] : [mm]x^2+y^2 \le 1 , y\ge x[/mm]
> Hallo zusammen!
Ich gehe mal davon aus, daß der geometrische Mittelpunkt der Schwerpunkt ist?
Der ist dann definiert als [mm] $S=(s_x,s_y)$ [/mm] mit [mm] $s_x=\frac{\int_M x dA}{\int_M dA}$ [/mm] bzw. [mm] $s_y=\frac{\int_M y dA}{\int_M dA}$
[/mm]
> Bin bei dieser Aufgabe etwas hilflos , was die Berechnung
> der Koordinaten anbetrifft. Ich habe folgenden Ansatz
> gewählt komme aber leider nicht ganz so weit:
>
> Für die Intervallgrenzen habe ich folgendes überlegt:
> Es handelt sich hierbei um einen Einheitskreis mit dem
> Radius 1.
> Das heisst nun , für die umrechnung in Polarkoordinaten:
> [mm]0\le r \le 1
und \bruch{\pi}{4} \le \pi \le \bruch{5* \pi}{4}[/mm]
>
> Jetzt kommt nun das , was nicht ganz so klar ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_ \bruch{\pi}{4}^\bruch{5* \pi}{4} r*cos\phi*r {d\phi}dr}[/mm]
> Ist das überhaupt richtig so?
> Also ich habe folgendes überlegt:
warum diese Grenzen?
Das Integral [mm] $\int_M [/mm] dA$ ist nichts anderes als der Flächeninhalt von M, der sich aber auch elementargeometrisch bestimmen läßt.
Die $x$-Koordinate sollte schon aus Symmetrieüberlegungen klar sein, und für die y-Koordinate hast Du das Integral [mm] $\int\limits_M y\mathrm dA=\int\limits_0^1\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}y [/mm] \ [mm] \mathrm dx\mathrm [/mm] dy$ zu lösen. Kugel- bzw. Polarkoordinaten verkomplizieren die Sache eher noch, weil es sich hier nicht um ein rotationssymmetrisches Gebilde handelt.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Sa 26.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
hallo Christian!
Danke dir erst einmal für die antwort!
Ich muss aber sagen , dass die umrechnung in polarkoordinaten meiner meinung nach die sache doch vereinfacht ( zumindest anschaulich).
Wie ich auf die Intervallgrenzen komme: für y=x und oberhalb bis zum radius =1 ist damit die Fläche von [mm] \bruch{pi}{4}(y=x) [/mm] bis [mm] \bruch{5pi}{4} [/mm] gemeint .So nun ist folgendes nicht klar. Anschaulich ist die sache also klar. Nur habe ich probleme mit dem Integral. Ich habe eigentlich nur Probleme mit folgenden Integralen:
[mm] \integral\integral [/mm] x dF und [mm] \integral\integral [/mm] y dF
Die Frage ist nun: muss ich x und y zuerst in polarkoordinaten umrechnen , wenn wie sehen diese aus?
LG
|
|
|
| |
|
> hallo Christian!
>
> Danke dir erst einmal für die antwort!
>
> Ich muss aber sagen , dass die umrechnung in
> polarkoordinaten meiner meinung nach die sache doch
> vereinfacht ( zumindest anschaulich).
> Wie ich auf die Intervallgrenzen komme: für y=x und
> oberhalb bis zum radius =1 ist damit die Fläche von
> [mm]\bruch{pi}{4}(y=x)[/mm] bis [mm]\bruch{5pi}{4}[/mm] gemeint
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
.So nun ist
> folgendes nicht klar. Anschaulich ist die sache also klar.
> Nur habe ich probleme mit dem Integral. Ich habe eigentlich
> nur Probleme mit folgenden Integralen:
>
>
> [mm]\integral\integral[/mm] x dF und [mm]\integral\integral[/mm] y dF
>
> Die Frage ist nun: muss ich x und y zuerst in
> polarkoordinaten umrechnen , wenn wie sehen diese aus?
>
Nun, wenn Du unbedingt magst 
x ist zu ersetzen durch [mm] $r\cos\phi$ [/mm] und y durch [mm] $r\sin\phi$.
[/mm]
Weiter ist die Funktionaldeterminante r, weshalb Du [mm] $r^2\cos\phi$ [/mm] zu integrieren hättest.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal.
Du hast schlicht vergessen, durch die Gesamtfläche zu teilen.
Ansonsten sind Deine Ergebnisse richtig .
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 So 27.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo Christian !
Danke für die superschnelle Reaktion!
Aber ich verstehe den letzten schritt nicht so ganz. Wieso muss ich denn noch durch die Gesamtfläche teilen?![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
LG
|
|
|
| |
|
Hallo.
kurz und bündig: weil das Bestandteil der Definition ist.
Deutlich wird das bei der Veranschaulichung als Schwerpunkt in der Physik. Wenn Du einen Massenschwerpunkt ausrechnest, integrierst Du die Dichte [mm] (\frac{kg}{m^3}) [/mm] mal x (in m) über die Fläche bzw. das Volumen, ergo hast Du als Einheit hinten raus [mm] $kg\cdot [/mm] m$, hierdurch wird plausibel, daß man noch durch die Gesamtmasse teilen muß...
Gruß,
Christian
|
|
|
|
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
