Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mi 29.08.2012 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | Berechne das Doppelintegral [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{(x²+y) dx dy}
[/mm]
(Integrationsbereich begrenzt durch [mm] y_{1}=x^{2} [/mm] und [mm] y_{2}^{2}=x) [/mm] |
Ich habe zunächst eine Skizze erstellt. Der Bereich erstreckt sich von x=0 bis x=1. -> Grenzen für x
In y-Richtung erstreckt sich der Bereich auch von y=0 bis y=1.
Sind das dann auch die Grenzen für y? Oder sind die Grenzen [mm] y_{oben}-y_{unten}??
[/mm]
Oder muss ich die Funktionen durch x darstellen? Also [mm] y_{u}=x^{2} [/mm] und [mm] y_{o}=\wurzel[]{x}
[/mm]
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Hallo hennes82,
> Berechne das Doppelintegral
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{(x²+y) dx dy}[/mm]
>
> (Integrationsbereich begrenzt durch [mm]y_{1}=x^{2}[/mm] und
> [mm]y_{2}^{2}=x)[/mm]
So kann die Aufgabe nicht vollständig sein.
> Ich habe zunächst eine Skizze erstellt. Der Bereich
> erstreckt sich von x=0 bis x=1. -> Grenzen für x
Diese Information war z.B. nicht in der Aufgabe enthalten.
> In y-Richtung erstreckt sich der Bereich auch von y=0 bis
> y=1.
Das wiederum widerspricht der Aufgabenstellung.
> Sind das dann auch die Grenzen für y? Oder sind die
> Grenzen [mm]y_{oben}-y_{unten}??[/mm]
>
> Oder muss ich die Funktionen durch x darstellen? Also
> [mm]y_{u}=x^{2}[/mm] und [mm]y_{o}=\wurzel[]{x}[/mm]
Ja, das sieht viel besser aus.
Bleibt die Frage, woher Du die Grenzen für x eigentlich hast.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Mi 29.08.2012 | | Autor: | hennes82 |
Erstmal vielen Dank.
Die Grenzen habe ich der Skizze entnommen. Der Bereich ist ja durch y1 und y2 begrenzt. (wobei mir auch nicht ganz klar ist ob nur positiv oder auch negativ, da nichts angegeben ist, denke ich beides -> Lösung laut Prof: 33/144)
Ist das denn grundsätzlich so, dass ich die y-Grenzen durch x ausdrücken muss?
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Hallo nochmal,
> Die Grenzen habe ich der Skizze entnommen.
Ah, ok. Die habe ich natürlich nicht.
> Der Bereich ist
> ja durch y1 und y2 begrenzt. (wobei mir auch nicht ganz
> klar ist ob nur positiv oder auch negativ, da nichts
> angegeben ist, denke ich beides -> Lösung laut Prof:
> 33/144)
[mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sind offenbar die Graphen zweier Parabeln, die um 90° verdreht angeordnet sind.
Ich würde davon ausgehen, dass es um den Bereich geht, der zwischen ihren Schnittpunkten liegt, also in der Tat [mm] 0\le x\le1 [/mm] und [mm] x^2\le y\le(+)\wurzel{x}.
[/mm]
> Ist das denn grundsätzlich so, dass ich die y-Grenzen
> durch x ausdrücken muss?
Nein, das hängt natürlich von dem Gebiet ab, über dem integriert wird. Bei einem Rechteck parallel zu den Koordinatenachsen hättest Du für beide Variablen feste Werte als Grenzen. Bei allen anderen Formen von Gebieten werden als Grenzen aber Funktionen ins Spiel kommen.
Da in Deinem Fall nun eine Variable mit festen Grenzen daherkommt, gehört dieses Integral nach außen, und das mit den Funktionen nach innen. Zu lösen ist
[mm] \int_{0}^{1}{\int_{\blue{x^2}}^{\blue{\wurzel{x}}}{(x+y)\ \blue{dy}}\ dx}
[/mm]
Integriert wird ja immer von innen nach außen. Die blau markierten Grenzen gehören also zum Integral über dy.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mi 29.08.2012 | | Autor: | hennes82 |
Nochmal vielen Dank. Hab's nun hinbekommen.
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