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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 25.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Man berechne das Integral [mm] \integral \integral_{B}{f(x,y) dx}.
[/mm]
f(x,y)=x^2y
Bereich B: Dreieck mit den Punkten (0,1), (0,-1), (1,0) |
Guten Abend!
Bin gerade am Üben für die anstehende Klausur und wollte fragen, ob jemand meinen Lösungsweg bzw. das Ergebnis kontrolieren könnte??
1) Bildung des Normalbereiches bezüglich der x Achse:
-1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
y+1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1-y
2) Integral aufstellen:
[mm] \integral \integral_{B}{f(x,y) dx} [/mm] = [mm] \integral_{y=-1}^{1} (\integral_{x=y+1}^{1-y}{x^2y dx) dy} [/mm] = [mm] \integral_{y=-1}^{1}{- \bruch{2y^2*(y^2+3)}{3} dy} [/mm] = [mm] -\bruch{8}{5}
[/mm]
Besten Dank für eure Hilfe!
Lg
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Hallo mike1988,
> Man berechne das Integral [mm]\integral \integral_{B}{f(x,y) dx}.[/mm]
>
> f(x,y)=x^2y
> Bereich B: Dreieck mit den Punkten (0,1), (0,-1), (1,0)
> Guten Abend!
>
> Bin gerade am Üben für die anstehende Klausur und wollte
> fragen, ob jemand meinen Lösungsweg bzw. das Ergebnis
> kontrolieren könnte??
>
> 1) Bildung des Normalbereiches bezüglich der x Achse:
>
> -1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1
> y+1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1-y
>
Die Untergrenze hat einen anderen Definitionsbereich als die Obergrenze.
Wenn Du das so machen willst, dann erstreckt sich die Berechnung
über 2 Doppelintegrale.
> 2) Integral aufstellen:
>
> [mm]\integral \integral_{B}{f(x,y) dx}[/mm] = [mm]\integral_{y=-1}^{1} (\integral_{x=y+1}^{1-y}{x^2y dx) dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{y=-1}^{1}{- \bruch{2y^2*(y^2+3)}{3} dy}[/mm] =
> [mm]-\bruch{8}{5}[/mm]
>
> Besten Dank für eure Hilfe!
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 25.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo MathePower !
Stehe nun etwas auf der Leitung!
Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass man bei einem solchen Problem den Bereich B als Normalbereich einerseits bezüglich der X-Achse und andererseits bezüglich der y-Achse errichten soll / kann / muss.
Ist es besser, wenn ich den Normalbereich bezüglich der y - Achse erstelle??
DANKE!
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Hallo mike1988,
> Hallo MathePower !
>
> Stehe nun etwas auf der Leitung!
>
> Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass man bei einem
> solchen Problem den Bereich B als Normalbereich einerseits
> bezüglich der X-Achse und andererseits bezüglich der
> y-Achse errichten soll / kann / muss.
>
> Ist es besser, wenn ich den Normalbereich bezüglich der y
> - Achse erstelle??
>
Ja, da Du dann nur ein Doppelintegral zu berechnen hast.
> DANKE!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 25.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Alles klar! Neuerlicher Versuch:
1) Bildung des Normalbereiches bezüglich der y Achse:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
x-1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1-x
2) Integral aufstellen:
[mm] \integral \integral_{B}{f(x,y) dx} [/mm] = [mm] \integral_{x=0}^{1} (\integral_{y=x-1}^{1-x}{x^2y dy) dx} [/mm] = [mm] \integral_{x=0}^{1}{0 dy} [/mm] = 0
Das kann doch auch nicht stimmen, oder??
Mfg
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Hallo mike1988,
> Alles klar! Neuerlicher Versuch:
>
> 1) Bildung des Normalbereiches bezüglich der y Achse:
>
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> x-1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1-x
>
> 2) Integral aufstellen:
>
> [mm]\integral \integral_{B}{f(x,y) dx}[/mm] = [mm]\integral_{x=0}^{1} (\integral_{y=x-1}^{1-x}{x^2y dy) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{x=0}^{1}{0 dy}[/mm] = 0
>
> Das kann doch auch nicht stimmen, oder??
>
Doch das stimmt.
> Mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 25.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Besten Dank!
Interpretiere ich dies nun richtig, heißt das ja, dass das Volumen zwischem dem Dreick und der Funktion [mm] f(x,y)=x^2*y [/mm] gleich Null ist!
Das würde ja bedeuten, dass das gegebene Dreick Element der Fläche [mm] x^2*y [/mm] ist, oder??
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 So 25.03.2012 | | Autor: | chrisno |
> Interpretiere ich dies nun richtig, heißt das ja, dass das
> Volumen zwischem dem Dreick und der Funktion [mm]f(x,y)=x^2*y[/mm]
> gleich Null ist
Volumen zwischen einer Fläche und einer Funktion?
>
> Das würde ja bedeuten, dass das gegebene Dreick Element
> der Fläche [mm]x^2*y[/mm] ist, oder??
Fläche [mm]x^2*y[/mm]?
Beim Integrieren sammelst Du unterhalb der x-Achse nur Beiträge < 0 ein. Oberhalb der x-Achse sammelst Du genau die gleichen Beiträge, bloß > 0 ein. Die heben sich weg. Daher kommt 0 heraus.
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