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Hallo
Hab folgendes Beispiel
[mm] (x^{2}+y^{2})^{2}=xy [/mm] x=r*cos phi ,y=r*sin phi
Berechnen Sie denvon er Kurve eingeschlossenen Flächeninhalt mit der gegebenen Substitution
Ich hab das so probiert
[mm] \integral_{}\integral_{}x_{r} [/mm] X [mm] x_{phi}dr [/mm] dphi
x= [mm] \vektor{r*cos phi \\ r*sin phi\\0}
[/mm]
[mm] x_{r}=\vektor{cos phi \\ sin phi\\0}
[/mm]
[mm] x_{phi}=\vektor{-r*sin phi \\ r*cos phi\\0}
[/mm]
[mm] x_{r}Xx{phi}=\vektor{0\\ 0\\r(cos^{2}phi+sin^{2}phi)}=\vektor{0 \\ 0\\r}
[/mm]
((r*cos [mm] phi)^{2}+(r*sin phi)^{2})^{2}=r*cos [/mm] phi*r*sin phi
[mm] r^{4}=r^{2}cos [/mm] phi sin phi
[mm] I_{F}=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1}{r drdt}}
[/mm]
Jetzt hab ich eine Frage wie verknüpft man [mm] (x^{2}+y^{2})^{2}=xy [/mm] mit dem Integral nur indem ich mir die Integralsgrenzen daraus berechne also das r wie komm ich hier auf das r?????
Danke
lg Stevo
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Es stehen ein paar Formeln hingekritzelt da herum. Aber was ist überhaupt die Aufgabe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Sa 01.04.2006 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Gefragt ist berechnen Sie die von den gegebenen Kurven eingeschlossenen Flächeninhalt mit Hilfe der Substitution
Sorry hab gedacht das ist eh klar
Stevo
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Wenn du eine Polarkoordinatendarstellung [mm]r = r \left( \varphi \right)[/mm] hast, so kannst du die Fläche zwischen den Strahlen von 0 bis [mm]\varphi_1[/mm], von 0 bis [mm]\varphi_2[/mm] und dem Bogen [mm]r \left( \varphi \right) \, , \ \varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2[/mm] einfach durch das Integral
[mm]\frac{1}{2} \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}~r^2~\mathrm{d} \varphi[/mm]
berechnen. Du hast ja schon [mm]r^2 = \cos{\varphi} \, \sin{\varphi}[/mm] gefunden. Jetzt mußt du dir nur noch überlegen, für welche [mm]\varphi \in [0,2\pi][/mm] diese Gleichung bestehen kann und über die entsprechenden Intervalle integrieren. Unter Verwendung der Symmetrie läßt sich das Ganze noch weiter vereinfachen (siehe Bild).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Danke für die Antwort
Hab aber noch eine Frage wenn ich zB eine Kurve mit [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1
[/mm]
mit x=r*a*cos(t) und y=r*b*sin(t) und ich das wieder mit dem Kreuzprodukt wie beim vorigen Beispiel berechne ohne vereinfachung nur stur mit der Formel benutze ich da die Kurve nur zum berechnen der Integralsintervalle?????? Das Integral selbst ist ja immer das gleiche
[mm] \integral_{ }\integral_{}x_{r} \times x_{t} [/mm] dr dt
Danke
Stevo
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Was du mit dem Kreuzprodukt willst, verstehe ich sowieso nicht. Ich kenne das nur zur Oberflächenberechnung, wenn man eine Parameterdarstellung einer zweidimensionalen Fläche im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] hat. Natürlich kannst du formal den [mm]\mathbb{R}^2[/mm] durch Ergänzen einer Nullkoordinate in den [mm]\mathbb{R}^3[/mm] einbetten. Aber das ist doch wirklich "mit Kanonen auf Spatzen" geschossen.
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