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Hallo,
wenn ich eine ebene Fläche mit Hilfe eines Doppelintegrals berechne, berechne ich eigentlich ein Volumen. Ist das korrekt? Kann man das so einfach sagen?
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> Hallo,
> wenn ich die Fläche mit Hilfe eines Doppelintegrals
> berechne, berechne ich eigentlich ein Volumen. Ist das
> korrekt? Kann man das so einfach sagen?
Nein, du schreibst doch selber: Wenn ich die Fläche ...
Beispiel: Rechteck mit Seiten a und b
[mm] \integral_{0}^{a}{( \integral_{0}^{b}{dy) dx}}=\integral_{0}^{a}{( y|_0^b) dx}=\integral_{0}^{a}{b dx}=bx|_0^a=ab
[/mm]
Das ist allerdings ein Spezialfall, der kaum vorkommt.
Normalerweise berechnest du aber mit einem Doppelintegral kein Volumen, sondern beispielsweise ein Gewicht, eine Kraft, eine Ladungsmenge usw.
Beispiel:
Eine rechteckige Kunststoffplatte liegt mt ihren Ecken in den Punkten (0|0),(20|0),(20|15) und(0|15), eines Koordinatensystems (1 Einheit = 1 cm). Sie wird elektrisch so aufgeladen, dass die Flächenladungdichte im Punkt (x|y) den Wert [mm] \rho=(1+x+2y) As/cm^2 [/mm] hat. Wieviel Ladung befindet sich auf den Platten?
Q = [mm] \integral{\rho dA}=\integral_{0}^{a}{(\integral_{0}^{b}{\rho dy) dx}}=\integral_{0}^{a}{(\integral_{0}^{b}{(1+x+2y)dy) dx}}=\integral_{0}^{a}{(y+yx+y^2)|_0^b dx}=\integral_{0}^{a}{(b+bx+b^2)dx}=(bx+bx^2/2+b^2x)|_0^a=ab+a^2b/2+ab^2,
[/mm]
jetzt nur noch a=20 und b=15 einsetzen: ...=(300+3000+4500)As=7800 As.
und das ist in diesem Fall eine Ladung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Mo 02.05.2016 | | Autor: | sonic5000 |
O.k. da muss ich erstmal drüber nachdenken...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> wenn ich eine ebene Fläche mit Hilfe eines
> Doppelintegrals berechne, berechne ich eigentlich ein
> Volumen. Ist das korrekt? Kann man das so einfach sagen?
Sei B eine messbare Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und $f:B [mm] \to [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm] eine integrierbare Funktion, so beschreibt das Integral
[mm] \integral_{B}^{}{f(x,y) d(x,y)}
[/mm]
das Volumen der Menge
[mm] \{(x,y,z) \in \IR^3: (x,y) \in B, 0 \le z \le f(x,y)\}
[/mm]
"Volumen der Menge zwischen dem Graphen von f und der x-y-Ebene".
Ist
F:=f(B) "Fläche im [mm] \IR^3", [/mm] so kann man mit einem Doppelintegral auch den Flächeninhalt von F berechnen (unter zusätzlichen Vor. an f)
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Oberflächenintegral
FRED
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