Doppel-Integral-Berechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:45 Fr 28.01.2005 | | Autor: | michl23 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \integral_{0}^{1}{} \integral_{0}^{1} {e^{max(x^{2}, y^{2})} dxdy}
[/mm]
berechne das Integral
das war ne prüfungsaufgabe, leider konnte ich diese aufgeabe nicht lösen mich würde aber trotzdem der lösungsweg/lösung/vorgehensweis interessieren
danke für euer interesse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> [mm]\integral_{0}^{1}{} \integral_{0}^{1} {e^{max(x^{2}, y^{2})} dxdy}
[/mm]
>
> berechne das Integral
>
> das war ne prüfungsaufgabe, leider konnte ich diese
> aufgeabe nicht lösen mich würde aber trotzdem der
> lösungsweg/lösung/vorgehensweis interessieren
Ich würde das Gebiet [mm] [0;1]^{2} [/mm] aufteilen und schreiben:
[mm]2* \integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{e^{x^{2}}}dxdy} [/mm]
Ich kenne mich mit Analysis nicht aus und konsultiere Mathematika 4.1. Das liefert mir dann:
[mm] = 2* \integral_{0}^{1}{\bruch{\wurzel{\pi}}{2}(Erfi(1) - Erfi(y))dy}
= e - 1 [/mm]
Gruß Clemens
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:06 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Atreju |
> Ich würde das Gebiet [mm][0;1]^{2}[/mm] aufteilen und schreiben:
>
> [mm]2* \integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{e^{x^{2}}}dxdy}[/mm]
Interessant waere, wie du zu dieser Aufspaltung gekommen bist. Find ich leider nicht nachvollziehbar.
> Ich kenne mich mit Analysis nicht aus und konsultiere
> Mathematika 4.1. Das liefert mir dann:
Naechstes Problem - In einer Pruefung hat man leider kein Mathematika, und [mm]e^{x^2}[/mm] zu integrieren ist kein Kinderspiel. [ Edit: Wie viel man nach einem halben Jahr uebersehen kann: Das Integral ist durch vertauschen der Integrationsreihenfolge auch furchtbar einfach zu errechnen ]
Ich hab hier, nach gruendlichem Rechnen, eine Loesung, die auf das gleiche Ergebnis kommt:
[mm] \integral_{0}^{1}{} \integral_{0}^{1} {e^{max(x^{2}, y^{2})} dxdy}
[/mm]
laesst sich auch schreiben als:
[mm]
\integral_{0}^{1} { (
\integral_{0}^{y}{e^{y^{2}} dx} +
\integral_{y}^{1}{e^{x^{2}} dx}
)dy}
[/mm]
Denke, dieser Schritt ist nachvollziehbar, und laesst sich weiter auch ohne Mathematika berechnen. ( Zwei Doppelintegrale, eines ist relativ einfach, beim anderen komm ich durchs vertauschen der Integrationsreihenfolge auf Ergebnis. )
Insgesamt bekomme ich auch e - 1 als Ergebnis.
Nur waer es wirklich nochmal interessant zu wissen, wie du auf deine Unterteilung kommst.
Daniel
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:11 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Atreju |
Mein Ansatz: Integral umschreiben in:
[mm] \integral_{0}^{1} {\integral_{0}^{z} { \integral_{z}^{1-z} {e^z^2} dx}dy dz}
[/mm]
Das ist wohl der entscheidende Schritt - Und ich bin mich nicht wirklich sicher ob er stimmt, ich hab das mal rein intuitiv angenommen ( Woemoeglich der mathematische 7. Sinn oder sowas. :), ich suche immernoch nach einer Erklaerung ( Nicht vergessen, dass war eine Pruefungsaufgabe, also einfach mal auf die naechste Idee stuerzen die irgendwie Plausibel erscheint :)
Das sieht nun erstmal nach einem wuessten Dreifachintegral aus, laesst sich aber relativ problemlos in ein Einfachintegral aufloesen:
[mm] \integral_{0}^{1} {(e^z^2)(1 - 2z)z dz}
[/mm]
Umformen in:
[mm] \integral_{0}^{1} {ze^z^2 - z2ze^z^2 dz}
[/mm]
"Auseinanderziehen":
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] ze^z^2 [/mm] dz } - [mm] \integral_{0}^{1} {z2ze^z^2 dz}
[/mm]
letzteres laesst sich partiell integrieren:
[mm]\integral_{0}^{1} {z2ze^z^2 dz} = ze^z^2 - \integral_{0}^{1} {2ze^z^2 dz }[/mm]
wobei ja gilt:
[mm]\integral_{0}^{1} {2ze^z^2 dz } = e^z^2 [/mm]
Als Ergebnis bekomme ich zum Schluss e/2.
Hoffe, dass alles richtig ist.
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 29.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo michl
Eigentlich muss man die Funktion [mm] $e^{\max(x^2,y^2)}$ [/mm] über den Bereich [mm] $B=[0,1]\times[0,1]$ [/mm] integrieren. B ist ein Quadrat. Dieses Quadrat wird durch die Diagonale y=x in zwei Dreiecke [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] unterteilt.
Im "unteren Dreieck" [mm] $B_1$ [/mm] gilt [mm] $y\leq [/mm] x$ und daher [mm] $\max(x^2,y^2)=x^2$.
[/mm]
Im "oberen Dreieck" [mm] $B_2$ [/mm] gilt [mm] $y\geq [/mm] x$ und daher [mm] $\max(x^2,y^2)=y^2$.
[/mm]
Man muss also die Funktion [mm] $e^{x^2}$ [/mm] über den Bereich [mm] $B_1$ [/mm] und die Funktion [mm] $e^{y^2}$ [/mm] über den Bereich [mm] $B_2$ [/mm] integrieren.
Eine Vertauschung der Variablen x und y entspricht einer Spiegelung an der Geraden y=x. Weil die Dreiecke symmetrisch bezüglich dieser Geraden liegen sind die beiden Integrale gleich.
Ich berechne daher nur das erste Integral und erhalte
[mm] $\int_{B_1}e^{x^2} dy\,dx=\int_0^1\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx= \int_0^1 e^{x^2}(\int_0^x dy)\,dx= \int_0^1 e^{x^2}x\,dx=\frac12(e-1)$.
[/mm]
Total ergibt sich daher $e-1$.
mfG Moudi
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